안녕하세요? 이해원 수학연구소 도현입니다.

먼저 x<0이면 eˣ<1이고 x(x-1)>0이므로 x(x-1)eˣ<x(x-1)임을 바로 알 수 있습니다. 즉, 곡선 y=x(x-1)eˣ은 곡선 y=x(x-1)보다 아래에 위치합니다.

그리고 방정식 x(x-1)=1의 음의 실근을 a라고 하면,

x<a일 때: x(x-1)>1이므로 x(x-1)eˣ>eˣ
x=a일 때: x(x-1)=1이므로 x(x-1)eˣ=eˣ
a<x<0일 때: x(x-1)<1이므로 x(x-1)eˣ<eˣ

임을 알 수 있습니다. (a의 값을 실제로 계산할 수도 있겠지만, 여기에서는 그 값 자체는 중요하지 않습니다.) 따라서

x<a일 때: 곡선 y=x(x-1)eˣ이 곡선 y=eˣ보다 위에 있음
x=a일 때: 두 곡선이 만남
a<x<0일 때: 곡선 y=x(x-1)eˣ이 곡선 y=eˣ보다 아래에 있음

이므로 그 그래프의 위치 관계가 한완수 본문의 그림과 같이 그려집니다.

마지막으로, x → -∞일 때 x(x-1)eˣ → 0이므로 곡선 y=x(x-1)eˣ가 x축을 점근선으로 가져야 합니다. 따라서 한완수 본문의 그림과 같이 어딘가에서 극대를 가지고 x축으로 수렴하게 됩니다.

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