안녕하세요. 이해원 연구소 도비입니다.

lim_{x→a}f(x)/g(x) 가 존재하고, lim_{x→a}g(x) = 0이라고 해봅시다.
이때 lim_{x→a}f(x) = ∞ 또는 lim_{x→a}f(x) = c (≠0) 이라고 가정하면,
① lim_{x→a}f(x) = ∞ 인 경우 : lim_{x→a}f(x)/g(x) = (∞/0 꼴) = 발산
② lim_{x→a}f(x) = c (≠0)인 경우 : lim_{x→a}f(x)/g(x) = (c/0 꼴) = 발산
하므로 lim_{x→a}f(x)/g(x) 가 존재하지 않습니다. 하지만 lim_{x→a}f(x)/g(x) 는 존재해야 합니다.
따라서 lim_{x→a}f(x)가 발산하지도 않고 0이 아닌 상수로 수렴하지도 않는다면 lim_{x→a}f(x)는 0으로 수렴할 수 밖에 없겠죠?
극한은 발산하거나 수렴할 수 있는데, 발산하지도 않고 c(≠0)로 수렴하지도 않으므로 0으로 수렴할 수밖에 없는 것입니다.

‘c/0 또는 ∞/0 꼴’이라는 표현은 한 번 실제 함수를 활용하여 이해해 보시면 좋을 것 같습니다.
ⅰ) lim_{x→0}{x²+3/x} 가 c/0 꼴이죠. lim_{x→0}{x²+3}=3이고, lim_{x→0}x=0이므로 3/0 꼴이어서 발산합니다.
ⅱ) lim_{x→0}{logx/x} 가 ∞/0 꼴이죠. lim_{x→0}{logx}=-∞이고, lim_{x→0}x=0이므로 (발산)/0꼴이어서 발산합니다.
이해가 쉽게 되지 않으신다면 발산하거나 수렴하는 여러가지 함수들을 사칙연산으로 조합해본 후 (EX) lim_{x→∞}3^x=∞, lim_{x→1}(x-1)=0 등을 조합) 극한으로 보내어 발산하는지 수렴하는지 구해보는 연습을 많이 해보시면 될 것 같습니다.

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