안녕하세요. 이해원 연구소 도비입니다.

‘양쪽 식에서 같은 부분은 전부 지운다’를 하시려면, ‘같은 부분이 없어져도 미분불가능한 지점들은 그대로 유지가 된다’가 성립하는지부터 생각해 보셔야 합니다.
질문자께서 같은 부분을 지우고 간결하게 식을 다루고자 하셨다면 ‘x²+1’만 지우셨어야 합니다.
하지만 {f(x)}²을 지우셔서 오류가 발생한 겁니다.
f(x)가 x=1에서 미분불가능한 함수이기 때문이죠.
앞에서 학습하셨듯이 미분불가능한 함수는 미분불가능한 함수와 더해져 미분가능한 함수를 만들 수 있습니다.
식을 구해보시면 아시겠지만, f(x)≥-2/3x+1/2의 범위에서 g(x)=(x-1)²+(f(x)-2)²입니다.
이때, 질문자께서 하신 바와 같이 ‘x²+1+{f(x)}²’을 지워봅시다.
남은 함수 -4f(x)-2x+4는 x=1에서 미분불가능한 함수가 됩니다.
하지만 ‘x²+1’만 지운 함수 (f(x)-2)²-2x는 x=1에서 미분가능한 함수이죠.
만약 f(x)가 x=1을 포함, 실수 전체 집합에서 미분가능한 함수였다면 질문자께서 하신 것과 같이 푸셔도 미분불가능한 지점들은 그대로 유지가 되었을 것입니다.

언제나 명심하셔야 할 것이, 완벽한 논리 없이는 식을 조작하면 안된다는 점입니다.
예상하지 못한 지점에서 오류가 발생할 수 있기 때문이죠.

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