안녕하세요. 이해원 연구소 도비입니다.

y=|x-1|은 다항함수가 아닙니다.
다항함수는 다항식으로 표현된 함수이죠.
쉽게 말하자면 숫자와 문자들의 합, 차, 곱으로“만” 이루어진 식으로 표현된 함수입니다.
y=x-1은 다항함수이지만 절댓값이 붙게 되면 더이상 다항함수가 아니라는 것입니다.

다항함수는 모든 지점에서 연속이며 미분가능합니다. 이는 기본적이고도 중요한 개념이니 유념하시기 바랍니다.

*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.

|x-1|은 다항함수가 아니다, 다항함수는 모든 지점에서 연속이다는 이해하고 받아들였습니다.
그렇지만 ‘다항함수는 모든 지점에서 미분가능하다’라고 하시는 것을 어떻게 받아들여야 할지 모르겠습니다.
예를 들어 다항함수 f(x) 위의 한 점에서의 미분계수의 존재를 정점의 위치가 변할 때마다 항상 같은 방식으로 구하는 것이 오래 걸리고 귀찮아 도함수의 정의로 구체화했고 이를 미분법을 증명할 때 적용합니다. 위 과정을 보았을 때 다항함수에 미분법을 적용하는 것은 ‘도함수가 존재한다’=‘미분법 사용’=>‘미분 가능한 함수이다를 내포하고 있다’고 생각해 다항함수는 모든 점에서 미분이 가능하다고 받아들이는 것이 맞을까요? 제가 재수생인데 현역 때 수학을 빈틈이 많게 공부하여 개념을 완벽히 다잡고 가고 싶은 마음에 질문드립니다 너그러이 이해 부탁드립니다.

우선 고등학교 과정에서 정확히 어떠한 형태의 함수들을 가리켜 다항함수라 하는지 명확하게 이해하는 것이 급선무인 듯 합니다.
고등학교 과정에서 다항함수라 하면 다음과 같은 형태의 함수를 일컫는 말입니다.
Ⓐ : y = a_n·xⁿ + a_n-1·x^n-1 ··· + a₂·x² + a₁·x + a₀
(현재 학습하고 계시는 고등학교 범위 내에서 출제된 문제를 풀고 계시다면, ‘다항함수’라는 워딩을 보았을 때 위 형태의 함수 외에 다른 형태의 함수는 절대로 떠올리지 마시기 바랍니다. 오직 저 형태의 함수만이 다항함수이고, 다른 형태는 존재하지 않습니다. 절댓값이나 지수·로그, 분수 등 그 어떠한 형태라도 ‘숫자와 문자의 합·차·곱’ 이외의 식/기호가 함수에 포함되어 있다면 다항함수가 아닙니다. 반드시 명심하셔야 합니다.)

이제 질문자께서는 다항함수라는 것이 무엇인지 아셨으니, 왜 다항함수가 모든 지점에서 미분가능한지를 설명해 드리겠습니다.
위에 제시된 다항함수를 미분하여 다음과 같이 Ⓐ의 도함수 Ⓑ를 구할 수 있죠.
Ⓑ : y = na_n·x^n-1 + (n-1)a_n-1·x^n-2 ··· + 3a₃·x² + 2a₂·x + a₁
이때 Ⓑ 또한 다항함수라는 것을 알 수 있습니다.
앞서 다항함수가 모든 지점에서 연속이라는 것은 이해하고 받아들이셨다고 하셨죠.
모든 지점에서 연속이라는 것은 곧 모든 지점에서 함숫값이 존재함을 의미합니다.
즉, 도함수가 모든 지점에서 함숫값이 존재하므로, 원함수는 모든 지점에서 미분계수가 존재합니다.
정리하자면 다항함수(Ⓐ)의 도함수는 실수 전체 집합에서 연속인 다항함수(Ⓑ)이므로 다항함수(Ⓐ)는 실수 전체 집합에서 미분계수가 존재하게 되고, 이는 곧 Ⓐ가 실수 전체 집합에서 미분가능하다는 것을 의미합니다.

첨언을 하자면, 고등학교 범위 내에서는 그냥 그래프가 매끄럽게 연결되어 있는 연속함수는 미분가능한 함수로 받아들이시면 됩니다.
다항함수의 경우에는 위에서 해드린 것과 같이 복잡한 과정을 거치지 않고도 충분히 실수 전체 집합에서 미분가능함을 보일 수 있지만, 계속해서 공부를 해 나가시다 보면 아시겠지만 미분가능하다는 것을 당연하게 받아들여야 하지만 그 증명이 손쉽게 해결되지 않는 경우들을 무수히 많이 맞닥뜨리실 겁니다.
하지만 그럴 때마다 기본적인 사항들에 많은 시간을 할애하여 완전히 이해하고 넘어가기에는 시간이 많이 부족하죠.
아직 학습해야 할 것들이 많이 남아있는 상황에서 근본적인 개념들에 의문을 가지기 시작하면 앞으로 나아가기가 어렵습니다.
질문자께서 개념을 완벽하게 다지고 싶어하시는 마음이 충분히 이해가 가기도 하고, 또 쉽다고 생각하는 내용들에도 한 번 질문을 던져보는 것은 훌륭한 자세입니다.
다만 때로는 당연한 것은 당연하게 받아들이고 넘길 줄 아는 태도도 중요합니다.
이런 사소한 부분들까지 꼼꼼하게 정리하고 넘어가지 않으면 학습에 문제가 생길 것 같다는 걱정이 앞서서 이러한 질문을 하신 것 같은데, 질문하시는 말들로 보아 질문자께서는 충분히 꼼꼼하게 잘 하시고 계시니 개념을 다잡지 못하는 것을 너무 염려하지 않으셔도 될 것 같습니다:)

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