안녕하세요. 이해원 연구소 도비입니다.

D·19의 방정식이 실근을 가진다는 것은 다음 연립방정식이 실근을 가진다는 의미입니다.

X²+aX+9=0 and X=2^x-2^-x

이때, 방정식 X²+aX+9=0가 실근 X=α, X=β를 가지더라도, 방정식 2^x-2^-x=α, 2^x-2^-x=β가 실근을 가지지 못한다면 D·19의 방정식은 실근이 존재하지 않는 것입니다. 즉, 방정식 X²+aX+9=0가 실근을 가진다 하더라도 그 경우에 대응되는 x가 존재하지 않는다면 D·19의 방정식은 실근이 존재하지 않는 것입니다. 따라서 함수 X=2^x-2^-x의 치역의 범위를 확인하는 과정을 거쳐야 X값에 대응되는 x값이 언제나 존재한다는 확신을 할 수 있죠.

더 자세히 설명드리겠습니다. 가지고 계신 한완수 수Ⅰ(상)의 p105에서 ‘교점의 x좌표가 곧 방정식의 실근’임을 학습하셨을 겁니다.
방정식 X²+aX+9=0가 실근 X=α, X=β를 가진다고 해봅시다. D·19의 방정식이 실근을 가지려면 x에 관한 함수 X(x)=2^x-2^-x에 대하여 함수 y=X(x)가 직선 y=α 또는 직선 y=β와 교점이 존재해야 합니다. 이때, 해설집 p21에 적혀있는 [수능 개념]-지수함수의 합·차 그래프‘를 보시면 함수 y=X(x)가 α(또는 β)의 값과 상관없이 항상 실근을 가진다는 것을 알 수 있습니다. 함수 y=X(x)의 치역이 실수 전체 집합이기 때문이죠.

하지만 만약에 같은 상황에서 X=2^x+2^-x라면 이야기가 달라집니다. x에 관한 함수 X(x)=2^x+2^-x의 경우에는 해설집 p21에 적혀있는 [수능 개념]-지수함수의 합·차 그래프‘에서 알 수 있듯이 치역이 y≥2 입니다. 즉, α 또는 β 중에 하나만이라도 2이상의 값을 가져야지만 함수 y=X(x)가 직선 y=α 또는 직선 y=β와 교점을 가지게 되어 전체 방정식이 실근을 가질 수 있게 됩니다. 그렇기 때문에 ①또는 ②의 과정을 거쳐야만 하는 것입니다.

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