첨부파일: IMG_1027.jpeg
예 2번에서
사진처럼 f(x)=t라고 치환했을 때
함숫값이 사진처럼 나와야 하잖아요 ...
여기서 저는 직선을 생각을 못하고
무조건 이차식으로 두고
그나마 간단하게 저렇게 식을 세웠는데
절대 안풀리네요
이 문제는 무조건 일차식으로 했어야 풀이가 가능한건가요..?
30분동안 계산만 했는데도 안돼요 ..ㅠ
2024.02.09 12:56
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답글
안녕하세요. 이해원 연구소 도비입니다.
아닙니다. 날개 1)에 써있듯이 꼭 직선이 아니더라도 다양한 관계식을 활용하여 적분구간을 바꿀 수 있습니다. 특히나 다항함수의 관계식을 활용한다면 고등학교 범위 내에서 적분이 안되지는 않습니다. 계산이 길어질 뿐, 무조건 계산할 수 있죠.
예를 들어, x=t²-(α-β+1)t+α 로 치환한다면 (다만, t와 x가 일대일대응이 되도록 제한조건을 걸어주어야 하겠죠.)
(α부터 β까지)∫(x-α)(x-β)dx = (0부터 1까지)∫{t²-(α-β+1)t}{t²-(α-β+1)t+α-β}{2t-(α-β+1)}dt
가 됩니다. ∫ 안의 식이 다항식이므로 적분할 수 있겠죠?
반드시 직선으로 설정할 필요는 없습니다만 두 적분변수의 관계를 선형적으로 설정하였을 때 변수의 값이 일대일대응이 되지 않는 문제나 계산이 너무 복잡해지는 문제가 발생하지 않기에 [교과서적 해법]과 같이 설정한 것입니다.
*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.
아닙니다. 날개 1)에 써있듯이 꼭 직선이 아니더라도 다양한 관계식을 활용하여 적분구간을 바꿀 수 있습니다. 특히나 다항함수의 관계식을 활용한다면 고등학교 범위 내에서 적분이 안되지는 않습니다. 계산이 길어질 뿐, 무조건 계산할 수 있죠.
예를 들어, x=t²-(α-β+1)t+α 로 치환한다면 (다만, t와 x가 일대일대응이 되도록 제한조건을 걸어주어야 하겠죠.)
(α부터 β까지)∫(x-α)(x-β)dx = (0부터 1까지)∫{t²-(α-β+1)t}{t²-(α-β+1)t+α-β}{2t-(α-β+1)}dt
가 됩니다. ∫ 안의 식이 다항식이므로 적분할 수 있겠죠?
반드시 직선으로 설정할 필요는 없습니다만 두 적분변수의 관계를 선형적으로 설정하였을 때 변수의 값이 일대일대응이 되지 않는 문제나 계산이 너무 복잡해지는 문제가 발생하지 않기에 [교과서적 해법]과 같이 설정한 것입니다.
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