안녕하세요. 이해원 연구소 도비입니다.

좋은 직관력을 가지셨습니다. 훌륭합니다:)
다만, 수학에서 논리적인 근거 없이 함부로 결과를 예단하는 것은 위험하니 언제나 본인이 하는 직관적인 생각에 논리적인 근거가 따라붙는지 확인하는 습관을 들이셔야 합니다.

질문자께서 말씀하신 ‘삼각형을 이루는 세 점 A, B, C’와 ‘점 P가 삼각형의 무게중심이다’ 사이에 어떠한 논리 과정이 있는지 설명해 드리겠습니다. 결국 우리가 증명하고자 하는 것은

‘모든 점까지의 거리의 제곱의 합이 최소가 되도록 하는 지점은 무게중심이다’

입니다. 그러므로 P1(x1, y1), P2(x2, y2), ···, Pn(xn, yn)에 대하여

(선분P1G)²+(선분P2G)²+ ··· + (선분PnG)² ··· Ⓐ

의 값이 최소가 되도록 하는 점 G(x, y)의 위치를 구해 봅시다.

(선분P1G)²+(선분P2G)²+ ··· + (선분PnG)²
= {(x-x1)²+(y-y1)²}+{(x-x2)²+(y-y2)²}+ ··· +{(x-xn)²+(y-yn)²}
= n{x-1/n(x1+x2+···+xn)}²+n{y-1/n(y1+y2+···+yn)}²-1/n(x1+x2+···+xn)²-1/n(y1+y2+···+yn)²+(x²1+··+x²n)+(y²1+···+y²n)

⇒ Ⓐ의 값이 최소가 되도록 하는 x와 y의 값은 x = 1/n(x1+x2+···+xn), y = 1/n(y1+y2+···+yn) 입니다.(∵ 두 이차함수의 대칭축의 방정식)

모든 점까지의 거리의 제곱의 합이 최소가 되도록 하는 점 G(x, y)에 대하여 x좌표는 Pi의 x좌표들의 평균이고, y좌표는 Pi의 y좌표들의 평균임을 알 수 있습니다. 즉, 점 G(x, y)는 점들의 무게중심입니다. 그러므로 세 점 A, B, C에 대하여 PA²+PB²+PC²이 최소가 되도록 하는 점 P의 위치는 세 점 A, B, C의 무게중심이라는 것도 자연스레 알 수 있습니다.

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