안녕하세요. 이해원 연구소 도비입니다.

오히려 단순하게, 직관적으로 생각하면 쉽습니다. a_{n+1}=1/2·a_{n}+1은 a_{n} 앞에 1/2이 곱해져 있으니, 계속 수열을 나열하다 보면 수열의 항의 절댓값이 작아지겠죠. 반대로 a_{n+1}=2·a_{n}+1은 a_{n} 앞에 2가 곱해져 있으니, 계속 수열을 나열하다 보면 수열의 항의 절댓값이 아주 커지겠죠. 이는 책에 나와있는 것처럼 y=x, y=1/2x+1, y=2x+1의 그래프를 그려보시더라도 a_{n+1}=1/2·a_{n}+1은 항의 절댓값이 점점 작아지고, a_{n+1}=2·a_{n}+1은 항의 절댓값이 점점 커지는 경향이 있다고 판단하실 수 있습니다.

위에 설명드린 만큼만 학습하셔도 충분합니다. 다만 아래와 같이 수식을 변형해 보신다면 두 수열간의 차이점을 더 명확하게 납득하실 듯 합니다.

Ⓐ a_{n+1}=1/2·a_{n}+1 ⇔ (a_{n+1}-2)=1/2·(a_{n}-2)
Ⓑ a_{n+1}=2·a_{n}+1 ⇔ (a_{n+1}+1)=2·(a_{n}+1)

Ⓐ의 경우에는 (a_{n}-2)가 공비가 1/2인 등비수열을 이루므로 a_{1}의 값에 상관없이 수열이 수렴하겠죠? 그러나 Ⓑ의 경우에는 (a_{n}+1)이 공비가 2인 등비수열을 이루므로 a_{1}=-1인 경우(등비수열의 첫항이 0인 경우)를 제외한 나머지 경우들에서는 수열이 발산할 것입니다.

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