안녕하세요. 이해원 연구소 도비입니다.

다음 두 예시를 비교해 보시면 이해가 되실 겁니다.

① f(x)=x² , g(x)=x-2
② f(x)=(x-2)² , g(x)=x-2 (x≠2) , 4 (x=2)

①의 경우 f(x)/g(x)=x²/x-2는 x=2에서 정의되지 않습니다. 당연하게도 f(x)/g(x)는 x=2에서 미분불가능합니다. 이 경우가 질문자께서 말씀하신 경우가 되겠죠.

하지만 ②의 경우는 좀 다릅니다. f(x)/g(x)=x-2가 되어 x=2에서도 미분가능한 함수가 됩니다. 그냥 g(x)=x-2라고 정의하여 1/g(x)가 x=2에서 정의되지 못하도록 한 ①과는 달리, ②에서는 g(2)를 따로 정의해주어 1/g(x)이 x=2에서 정의될 수 있게 해주었습니다. 그 결과 f(x)/g(x)가 x=2에서 미분가능해진 것이죠.

이처럼 상황에 따라서 분수함수라도 분모=0인 지점에서 미분가능할 수도 있고 미분불가능할 수도 있습니다. 무조건 미분불가능하지만은 않기 때문에 ‘미분불가능 후보’라는 표현을 쓴 것이죠.

질문자께서는 그냥 ‘분수함수가 나오면 의식적으로 분모=0인 지점들에 주의를 기울인다’ 정도의 태도만 견지하시면 될 것 같습니다. 좋은 질문입니다:)

*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.