안녕하세요. 이해원 연구소 도비입니다.

D·19의 방정식이 실근을 가진다는 것은 다음 연립방정식이 실근을 가진다는 의미입니다.

X²+aX+9=0 and X=2^x-2^-x

이때, 방정식 X²+aX+9=0가 실근 X=α, X=β를 가지더라도, 방정식 2^x-2^-x=α, 2^x-2^-x=β가 실근을 가지지 못한다면 D·19의 방정식은 실근이 존재하지 않는 것입니다. 즉, 방정식 X²+aX+9=0가 실근을 가진다 하더라도 그 경우에 대응되는 x가 존재하지 않는다면 D·19의 방정식은 실근이 존재하지 않는 것입니다.

더 자세히 설명드리겠습니다. 가지고 계신 한완수 수Ⅰ(상)의 p105에서 ‘교점의 x좌표가 곧 방정식의 실근’임을 학습하셨을 겁니다.
방정식 X²+aX+9=0가 실근 X=α, X=β를 가진다고 해봅시다. D·19의 방정식이 실근을 가지려면 x에 관한 함수 X(x)=2^x-2^-x에 대하여 함수 y=X(x)가 직선 y=α 또는 직선 y=β와 교점이 존재해야 합니다. 이때, 해설집 p21에 적혀있는 [수능 개념]-지수함수의 합·차 그래프‘를 보시면 함수 y=X(x)가 α(또는 β)의 값과 상관없이 항상 실근을 가진다는 것을 알 수 있습니다. 함수 y=X(x)의 치역이 실수 전체 집합이기 때문이죠.

하지만 만약에 같은 상황에서 X=2^x+2^-x라면 이야기가 달라집니다. x에 관한 함수 X(x)=2^x+2^-x의 경우에는 해설집 p21에 적혀있는 [수능 개념]-지수함수의 합·차 그래프‘에서 알 수 있듯이 치역이 y≥2 입니다. 즉, α 또는 β 중에 하나만이라도 2이상의 값을 가져야지만 함수 y=X(x)가 직선 y=α 또는 직선 y=β와 교점을 가지게 되어 전체 방정식이 실근을 가질 수 있게 됩니다.

질문자께서 하신 질문들의 내용에 답해드리면서 전체적인 내용을 정리하고 마무리하겠습니다.

1. 2^x이라는 함수에서 2^-x을 뺀 건데, 둘 다 실수 전체의 집합에서 존재성이 증명되어 있으니 단순히 빼기로 연산한 것의 함수를 근의 공식을 쓰지 못 할 이유가 없다고 생각 → 실수 전체 집합에서 존재성은 이 문제에서 전혀 중요하지 않고 답을 구하는 것과 전혀 상관이 없습니다. 이 문제에서 중요한 것은 앞서 말씀드렸듯이 ‘방정식 X²+aX+9=0가 함수 y=X(x)의 치역의 범위에서 실근을 가지는가’입니다.

2. 앞의 다른 문제에서 2, 3^x=t라 치환하고 이차함수 풀 듯이 푼 문제와 풀이 과정에서 차이가 발생한 이유를 잘 모르겠습니다. → 이제 아실 것이라는 생각이 듭니다. 아마 의식하지 못하고 푸셔서 그런데 항상 t>0이라는 조건이 따라붙습니다. 가지고 계신 한완수 수Ⅰ(상) p105 Example 02가 적절한 예시가 될 것 같습니다. 발문의 방정식이 실근을 가지려면 t²-2t-8=0가 't>0'의 범위에서 실근을 가져야겠죠? x에 관한 함수 t(x)=2^x 에 대하여 함수 y=t(x)의 치역이 y>0이니까요.

3. 또 증명이 끝난 후에야 이차함수처럼 풀 수 있다고(판별식을 사용할 수 있다고)문제에서 말했는데 동그라미 2번에서는 증명하기 위해 증명되지 않은 함수에 근의 공식을 사용했으니 모순이 되는 것 아닐까 의문이 듭니다. → 해설에서 증명이 끝난 후에야 판별식을 사용할 수 있다고 한 방정식은 X²+aX+9=0이고, ②에서 판별식을 사용한 방정식은 2^x-2^-x=X 입니다. 두 방정식은 전혀 상관이 없습니다.

*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.

이해된 것 같습니다. 감사합니다 :)