해설을 보았는데 해설엔 유리함수와 x+y=8을 연립하여 이차방정식을 세우고 k를 구하는 방식으로 풀이가 되어있습니다.


저는 유리함수의 대칭점 (두 점근선의 교점)이 (2,2)이고 이 점이 y=x 위에 있는 점이다. 따라서 유리함수가 y=x에 대하여 대칭이다.

x+y=8 ,  y=x를 연립하면 x=4 이므로 선분 PQ의 중점을 M이라 하면 M의 좌표가 M(4,4)

점P의 x좌표 p, 점Q의 x좌표 q라고 하면

선분 PQ의 중점이 M이므로 p+q=8

pq=14 로 주어졌으므로  (q-p)^2 = 64 - 56 = 8

q-p = 2sqrt2


선분 PQ를 빗변으로 하는 직각삼각형이 직각이등변삼각형이고 그 밑변의 길이가 q-p = 2sqrt2 이므로 선분 PQ의 길이가 4이다.


선분 OM의 길이가 4sqrt2 이고 선분 PM의 길이가 2 이므로 (선분 OP 길이의 제곱) = 32 + 4 = 36


이때 유리함수가 y=x에 대하여 대칭이고 y=x 가 선분 PQ를 수직이등분 하므로 OP = OQ이다. 따라서 (OP 곱하기 OQ) = (OP 길이의 제곱 ) = 36


이렇게 답을 냈는데 이렇게 풀어도 되는 건가요? (k값을 구하지 않고도 문제를 풀 수 있는 것 같아서 여쭙니다.)