안녕하세요. 이해원 연구소 코시입니다.

3번째 줄에서 4번째 줄로 넘어갈 때, lim을 나눠주기 위해서는 두 식이 각각 잘 수렴한다는 가정 하에 나눠줄 수 있습니다. 예를 들어, a_n=(-1)^n의 경우

[lim n→∞] {a_(n+1)+a_n}

을 생각해 보면, n이 짝수인지 홀수인지 여부에 관계 없이 a_(n+1)+a_n의 값은 0입니다. 하지만, lim을 나누게 되면

[lim n→∞] {a_(n+1)} + [lim n→∞] {a_n}

은 두 수열이 각각 수렴하지 않는 상황이므로 두 극한값은 존재하지 않아 더할 수 없습니다.

문제의 ㄷ은 예시로 들어드린 a_n=(-1)^n의 상황과 비슷한 맥락의 문제로, h를 각각 0보다 큰 경우와 작은 경우 두 경우로 나누어 각각 구해보아도 그 값은 둘 모두 0이 나와 극한값이 존재하게 됩니다.

미분 불가능한 점에서 미분계수와 비슷하게 생긴 식의 극한값이 존재하는 아주 대표적인 예시이므로 한번 직접 대입을 하여 문제를 풀어보시는 것을 추천드립니다.

+이 문제를 그래프 위의 기울기 관점으로 접근하여 해결할 수도 있습니다. 구하는 극한값은 두 점
(1-h, f(1-h)), (1+h, f(1+h))
의 평균기울기이므로, 첨부한 그림과 같이 그 두 점의 평균기울기는 h의 값에 관계없이 항상 0이 나오게 됩니다.

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