이전 답변에서 어느 정도는 의문이 해소되었으나, 풀리지 않은 질문이 있어서 다시 드립니다.
그림에 오류가 있어서 다시 그림을 그렸습니다.
질문의 요지는 같은 각을 공유한다면(예컨대 1세타), 선분 AF 위에 어떠한 점을 찍더라도 AC=AG=AL로 근사가 되는 것인지 알고 싶습니다.
한완수 해설에서는 AF=AC로 길이가 같게 근사된다는 내용에 착안하여 이와 같이 추론하였습니다.
2023.09.08 15:45
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안녕하세요. 이해원 연구소 코시입니다.
AC가 AF와 같아지는 것은, 점 C를 잡을 때 ‘직선 CD가 선분 AB에 평행하고, CDE가 정삼각형’인 조건을 통해 점을 잡았기 때문입니다. 이 이유로 정삼각형 CDE는 θ→0일 때 선분의 길이가 0이 되므로 AC=AF가 됩니다.
간편한 예시로, 만약 점 G가 선분 AF의 중점인 경우, θ→0일 때 AG=1/2AF로 당연하게 AF와 같지 않습니다.
*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 댓글로 추가 질문해 주세요.
AC가 AF와 같아지는 것은, 점 C를 잡을 때 ‘직선 CD가 선분 AB에 평행하고, CDE가 정삼각형’인 조건을 통해 점을 잡았기 때문입니다. 이 이유로 정삼각형 CDE는 θ→0일 때 선분의 길이가 0이 되므로 AC=AF가 됩니다.
간편한 예시로, 만약 점 G가 선분 AF의 중점인 경우, θ→0일 때 AG=1/2AF로 당연하게 AF와 같지 않습니다.
*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 댓글로 추가 질문해 주세요.
2023.09.08 15:59
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헤링
그리고 한 가지 더 질문이 있는데요. 반드시 정삼각형이어야지만 AC=AF가 되는 건가요? 이등변삼각형이나 그냥 세 변의 길이가 모두 다른 삼각형이 CDE로 설정되어 있었다면, AF의 길이는 AC와 다르게 나오는 건가요? 이해가 잘 안가서 질문이 많은 점 양해 부탁드려요 ㅠ
2023.09.08 15:55
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아하, 그래서 같다고 볼 수가 있었던 거군요. 저 코시님, 그런데 한완수 이론 설명 파트에서 차수 논리는 잘 설명되어 있던데, 개별적인 특수한 상황에서 그림을 통해 무슨 선분이 0으로 가는지 등은 제가 못찾은 건지, 아직 잘 감이 안 잡히네요.
만약에, 직사각형 GHIJ가 있고, GH가 선분 AB와 평행이면, 마찬가지로 AG:BH=4/3:2/3이 맞나요?
그리고 삼각형 LMN처럼 정삼각형이 아닌 삼각형이 똑같이, 선분 LM이 AB와 평행하였을 때, 세타가 0으로 가면, 같은 이유에서 AL=AF=4/3 , BF=BM=2/3으로 보아도 무방한 건가요?
만약에, 직사각형 GHIJ가 있고, GH가 선분 AB와 평행이면, 마찬가지로 AG:BH=4/3:2/3이 맞나요?
그리고 삼각형 LMN처럼 정삼각형이 아닌 삼각형이 똑같이, 선분 LM이 AB와 평행하였을 때, 세타가 0으로 가면, 같은 이유에서 AL=AF=4/3 , BF=BM=2/3으로 보아도 무방한 건가요?
2023.09.08 17:15
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수학귀신되고싶다
직사각형의 경우와 정삼각형과 비교해 보면, 정삼각형의 경우 θ의 값에 따라 반드시 가져야 하는 한 개의 모양이 정해져 있습니다. 점 G는 θ의 값이 정해진 순간 움직이지 않으며, 항상 수식으로 올바른 위치에 놓아져야 정삼각형을 만들 수 있습니다. 직사각형은 당장에 노트에 그리신 그림에서도 점 G를 선분 AF 위의 어떤 점으로 잡아도 직사각형을 만들 수 있습니다.
삼각형 LNM에 대해서도, 점 L은 θ의 값에 관계없이 AF 위의 어떠한 점을 잡아도 점 M을 잡을 수 있으므로 역시 그 길이를 구할 수 없습니다.
삼각형 LNM에 대해서도, 점 L은 θ의 값에 관계없이 AF 위의 어떠한 점을 잡아도 점 M을 잡을 수 있으므로 역시 그 길이를 구할 수 없습니다.
2023.09.08 17:39
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헤링
아하.. 그럼 예전에 한완수에서 설명한 방식에 따르면 공통점과 차이점에 의한 식 중에서 여러 가지 삼각형이나 사각형을 ‘공통점’이라고 볼 수 있다면, 정삼각형/정사각형처럼 여러 후보군 중에서 단 한 가지 케이스만 만족시키는 경우만을 ‘차이점’으로 볼 수가 있는 것이겠네요?
따라서 정삼각형 CDE와 선분 CD를 길이로 갖는 정사각형만이 @가 0으로 갈 때, AC=AF=4/3, BF=BD=2/3으로 되는 것이고요.
이제야 조금 이해가 되는 것 같습니다. 질문이 많았는데 다 답변해주셔서 감사합니다!
따라서 정삼각형 CDE와 선분 CD를 길이로 갖는 정사각형만이 @가 0으로 갈 때, AC=AF=4/3, BF=BD=2/3으로 되는 것이고요.
이제야 조금 이해가 되는 것 같습니다. 질문이 많았는데 다 답변해주셔서 감사합니다!
2023.09.08 17:38
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추가 설명 댓글 달아드리는 중이니, 잠시만 기다려주세요
2023.09.08 17:40
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헤링
아 넵! 감사합니다 ㅠ
2023.09.08 18:40
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지금 상황에 대한 설명을 위해 아주 쉬운 예시를 들면, x+1=2라는 식에서 x=1을 알아낼 수 있습니다. 하지만, 모든 문제에서 x의 값이 1은 아닙니다. 어느 식에서는 1이고, 어느 식에서는 허수일 수도 있으며, 어느 문제에서는 x가 정의되지 않을 수도 있습니다. x의 값은 결국 출제자가 출제를 어떻게 했냐에 따라 달라지는 것이고, 그것을 알아내기 위해서는 결국 주어진 식을 정리하고 조건을 정리하는 과정이 필요합니다.
삼각형을 다르게 설정하는 경우 극한값이 변할 수 있다는 예시 ①, ②의 선분 AC의 극한을 구해보시면, ①은 2차의 속도로 0으로, ②는 선분 AF 길이의 반이 나옵니다.
삼각형이 아닌 다르게 잡은 경우에도 선분 AC의 길이의 극한은 AF와 같을수도, 다를수도 있습니다. ③처럼 정사각형을 잡은 경우, 선분 AC의 길이의 극한은 선분 AF의 길이와 같게 나오게 됩니다.
한완수 교재 해설과 같이 그 값을 바로 구할 수 있는 이유는, 설명해드렸다시피 그 논리가 충분하기 때문입니다. ①, ②, ③에서도 비슷하게 구해 보면
① 각 C를 포함하는 안쪽의 작은 삼각형을 살펴보면, 삼각형이 납작해질수록(θ가 0으로 갈 때) 각도를 유지하기 위해 점 C는 점점 더 왼쪽으로 갈 것입니다. 따라서 AC의 길이는 0으로 갑니다.
② 삼각형 AFB를 점 C를 포함하고 AB에 평행한 직선에 대해 접은 형태이므로, 선분 BF 위의 AB//CD를 만족하는 점 D를 잡으면 삼각형 CFD와 AFB는 1:2 닮음이므로 AC의 길이는 AF의 절반이 됩니다.
③ 사각형도 삼각형과 마찬가지로, 삼각형 AFB가 납작해질수록 정사각형의 높이=한 변의 길이는 0으로 가게 됩니다.
직접 극한을 구하기 전에 그 값을 추론할 때 사용하는 저의 사고의 흐름입니다.
정리하면, 선분 AF 위의 점 C를 잡을 때, AC의 길이는 AF의 길이와 같을수도, 다를수도 있습니다. 그것을 판단할 수 있는 것은 결국 점 C를 정의한 조건입니다. 점 C가 어떠한 조건으로 정의되었는지 알아낸 다음은, 어렴풋이 그 값을 유추해볼 수도 있고, 직접 수식을 세워서 그 값을 구할 수 있습니다.
2023.09.08 20:52
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헤링
많이 바쁘실 텐데, 장문의 답변을 남겨주셔서 매우 감사드립니다. 덕분에 이 주제에 대해 더욱 깊이 이해할 수 있게 되었습니다.
다만, 코시님 답변을 읽으면서 들었던 의문점이 4가지가 있어서 그것을 다시 질문드리고 싶습니다.
번거로우시겠지만, 저의 이해력과 부족한 수학적 직관력을 탓해주시기 바랍니다.
자세한 질문은 사진에 첨부하겠습니다.
좋은 주말 되시기를 바랍니다!
2023.09.11 12:21
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Q1,2,4 : 계산 실수로 잘못된 예시를 들어드렸습니다. 학습에 혼동을 드려 죄송합니다. 닮음에 의해AC=1/2AF가 맞습니다.
Q3. 전체 삼각형인 AFB를 의미한 표현입니다.
Q3. 전체 삼각형인 AFB를 의미한 표현입니다.
2023.09.11 13:23
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헤링
아하, 그런 것이군요. 잘 알겠습니다. 답변 감사합니다!
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