안녕하세요. 이해원 연구소 코시입니다.

우선, 닫힌 구간 [a, b]의 양 끝에서 a의 좌극한과 b의 우극한값을 모르기 때문에 미분가능성을 논할 수 없으므로 열린 구간 (a, b)에서 미분 가능하다는 조건이 붙어있게 됩니다.

닫힌구간 [a, b]에서의 연속이라는 조건은,

1. 함수가 불연속일 경우 만족하지 않는 경우가 있습니다. 가령, 한 점에서 불연속인
f(x)=x+1 (x<1)
x+2 (x≥1)
의 닫힌구간 [0, 2]에서 부정적분 함수를 살펴보면, 뾰족한 점이 있어 미분 불가능한 지점이 나옵니다. 한 점에서만 불연속인 다른 케이스
f(x)=x+1 (x≠1)
4 (x=1)
함수의 부정적분 함수를 살펴보면, F'(x)=x+1이므로 f(x)와 다른 함수가 나옵니다.

이처럼 함수가 불연속일 경우에는 만족하지 않을 수 있습니다.

2. 이 교과서 개념은 ‘연속 함수는 항상 부정적분 함수가 존재하고, 그 함수의 도함수가 f(x)를 만족’한다는 내용인 ‘미적분학의 기본정리’입니다. 물리를 공부하기 위해 마찰이 0인 공간을 설정한 것과 비슷한 맥락으로, 연속함수를 살펴보기 위해 잡아둔 연속성 조건이라고도 이해할 수 있습니다.

3. 열린구간 (a, b), 반열린구간 (a, b]같은 구간에서도 성립하나, 수학적 ‘정리’는 만족하는 범위를 의미가 있는 선에서 최대한 넓게 잡는 것이 좋기 때문입니다. (a, b)에서도 성립하는데 [a, b]에서도 성립한다면, (a, b)보다는 [a, b]로 두는 것이 더 범용성이 넓을 것이라 쉽게 생각 가능합니다.

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