안녕하세요. 이해원 연구소 코시입니다.

(0, 1)이라는 표현은 너무 당연한 표현입니다. S_n은 1/2에서 1로 증가하는 수열이므로 (3/4, 1), (1/2, 1), (0, 1), (-13, 1), ... (-∞, 1) 어떠한 표현을 사용해도 문제가 없습니다. (1-h, 1)이라는 표현은 적힌대로 의도가 있는 표현입니다.

임의의 양수 h는 노트에 적어주신 내용처럼 결국 h⟶0+을 살펴볼 때 자주 사용되는 표현이 맞습니다. 직접 h에 어떤 양수를 넣어 확인해봅시다.

우선 h=1/2일 때 위에서 언급한 것처럼 성립합니다. 이제 h를 더 작게 만들면, 예를 들어 h=10^(-14)정도로 가정해봅시다. h는 분명 매우 작은 값이나, N=47일 때 S_n의 값은 n≥N인 모든 n에서 1-h보다 커지며, 따라서 만족하는 S_n의 값은 구간 (1-h, 1)에 무수히 많아지게 됩니다.*
이번엔 양수를 훨씬 더 작게, h=10^(-100)으로 두어도 333≤n을 만족하는 n에 대하여 S_n의 값은 항상 1-h보다 커져 구간 (1-h, 1)에 무수히 많은 S_n값을 관찰할 수 있습니다.*
h를 그보다 더 작게 해도 어떤 N이 존재해서 n≥N인 모든 n에서 S_n값은 구간 (1-h, 1)에 포함되어, 무수히 많은 점이 구간에 존재한다는 명제가 성립할 것이라고 쉽게 생각할 수 있습니다.

이렇게, '수열이 수렴하면, 범위를 아무리 좁게 좁혀도 그 안에 무수히 많은 점이 포함된다'는 논리는, 고등 수학 과정에는 있지 않으나 극한, 수렴을 정의하는 과정에서 사용되는 논리의 핵심이므로 알고 넘어가는 것이 좋습니다.


*S_n=1-(1/2)^n이므로 2^n<10^14를 만족하는 n일 때 S_n이 구간 (1-h, 1)에 포함됩니다. 이때 2^47=140737488355328이므로 n=47부터 2^n이 10^14=100000000000000보다 커지게 됩니다.
10^100에 대해서도 2^333=17498005798264095394980017816940970922825355447145699491406164851279623993595007385788105416184430592이므로 n=333부터 2^n이 10^100보다 커지게 됩니다.


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