안녕하세요. 이해원 연구소 코시입니다.

우선, 두 함수 f,g가 다항함수가 아니면 당연히 성립하지 않으므로, 두 함수는 다항함수라는 전제를 두고 시작하겠습니다.

n차방정식 f-g에 대하여, 허근을 모두 세어주고 중복하여 나타나는 근을 따로 세어주는 경우 모든 근의 개수는 n개를 만족합니다. 그러나 X으로 방정식의 차수를 추론할 때에는 ‘필요,충분조건’과 ‘다항식의 중근과 허근’ 이렇게 두 가지 문제가 발생합니다.

1) f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)
g(x)=x(x-2)(x-4)(x-6)

인 7차 다항함수 f(x)와 4차 다항함수 g(x)를 생각해 보면, 정의역을 X={0, 4}로 설정해도 두 함수 f와 g는 같은 함수입니다. 즉, n차방정식 f-g의 모든 근의 집합을 A, f-g=0을 만족하는 그 정의역 X를 생각해보면 X⊂A를 만족하는 경우에 성립하므로, 집합 X의 원소의 개수를 통해 집합 A의 원소의 개수를 추론할 수 없습니다. (집합과 명제에서 배운 필요조건의 형태입니다.)

여기서 집합 X의 원소의 개수가 3개인 경우, f-g는 최소 3차방정식이라는 사실은 알 수 있습니다. X⊂A에서 m≤n을 만족하기 때문입니다.

2) f(x)=x^10
g(x)=x^2

로 두면, 함수 f-g의 실근은 x=1,-1,0 뿐입니다. 중근 x=0과 6개의 허근으로 인해 차수와 근의 개수가 맞지 않는 경우가 발생합니다.

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