안녕하세요. 이해원 연구소 코시입니다.

문제에서 적분 구간을 [α,β]에서 [0,1]로 바꾸어 계산해야 합니다.

g(α)=0, g(β)=1이 되도록 식 g(x)를 세워야 하는데, 이때 (α, 0), (β, 1) 두 점을 지나는 방정식을 한번 생각해보면 가장 간단하게 세울 수 있으면서 g'(x)의 형태가 가장 간단한 함수가 직선의 방정식입니다. g'(x)가 상수함수이므로 적분 계산에 큰 영향을 주지 않기 때문입니다.

문제에서 적분구간을 바꾸어 계산해야 하는 조건이 없었어도, 직선의 방정식을 떠올려 문제를 해결하는 것이 가장 좋습니다.

문제와 같이 (x-α)(x-β)를 적분할 때 x^2-(α+β)x+αβ를 적분하는 것보다 t^2-t를 적분하는 것이 더 간편해지고, 부정적분한 형태에 변수 대입이 간단해지는 등 구간 변경만으로 문제를 더 쉽게 접근할 수 있기 때문입니다.

치환을 바로 해서 어렵게 느껴지실 수 있지만 단계적으로 생각해보신다면 간단한 풀이이므로 단계별로 적어드리겠습니다.


적분 구간을 [α,β]⟶[0,1]로 바꾸는 경우, 시작점을 0으로 맞추는 것부터 하는 것이 좋습니다.

x를 -α만큼 평행이동하면

p=x-α
[α,β]⟶[0,β-α]

이제 구간의 길이 β-α를 1로 맞춰주기 위해 p에 1/(β-α)를 곱하면

t = p/(β-α) = {1/(β-α)}(x-α)
[0,β-α]⟶[0,1]

이렇게 단계별로 치환하여 나타내면 직선의 방정식을 바로 떠올리는 것과 같은 t={1/(β-α)}(x-α) 를 도출할 수 있게 됩니다.

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