정적분 절댓값

[자유]학습 Q&A

정적분 절댓값

정적분 절댓값을 풀 때 범위를 나누는 이유가 뭔가요? 기하적 측면에서 보면 넓이를 구하는 것이기 때문에 범위를 나누는 이유가 이해가 가지만, 오로지 식의 관점에서 봤을 때는 왜 나누는지 알 수가 없어요. F(b)-F(a)로 부정적분을 빼는 건데 왜 절댓값의 범위를 나누는지 궁금합니다.

2023.07.24 13:52

답글

안녕하세요. 이해원 연구소 코시입니다.

정적분을 부정적분 꼴로 나타낼 때, 교과서에 있는 표현을 그대로 인용하면

정적분 : 함수 f(x)가 두 실수 a, b를 포함하는 구간에서 연속일 때, f(x)의 한 부정적분을 F(x)라고 하면 f(x)의 a에서 b까지의 정적분은

∫[b a] f(x)dx = F(b)-F(a)

이때, 절댓값 함수는 구간별로 정의되지 않은 하나의 부정적분 F(x)의 형태로 나타내는 것이 매우 힘듭니다. 예시로, f(x)=|(x-1)(x-2)|를 범위 [0, 3]에서 생각하면

F(x)=1/3x^3-3/2x^2+2x+C1 (0<x<1)
.........-1/3x^3+3/2x^2-2x+C2 (1<x<2)
.........1/3x^3-3/2x^2+2x+C3 (2<x<3)

으로 범위에 따라 부정적분 함수와 적분상수가 달라져 하나의 부정적분 함수로 나타내기 힘들기 때문에 범위를 나누어 구해주어야 합니다.

*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 댓글로 추가 질문해 주세요.

2023.07.24 19:03

답글

헤링

설명을 추가하면, 예시로 든 f(x)=|(x-1)(x-2)|를 범위 [0, 3]에서 적분할 때 위에서 세운 F(x)를 토대로

F(3)-F(0)

으로 식을 세우고 구할 수 있습니다. 이때 x=3과 x=0에서 적분상수가 달라 기존 정적분 계산과 같이 적분상수를 무시할 수 없고 C3-C1까지 계산을 해주어야 적분값이 올바르게 나오며, 적분상수를 계산해주는 과정을 직접 해보신다면 구간을 [0,1] [1,2] [2,3]으로 나누어 적분하는 과정과 정확히 같은 것을 볼 수 있습니다.

2023.07.25 1:48

답글

헤링

1. 예를들어 [2,8]에서 연속인 함수 f(x)에 대해 인테그랄 8 2(인테그랄 기호 다음에 8이 위, 2가 아래)f(x)dx로 정적분하는 것이 2.00000...01, 2.000000..02, 2.00000...03, ... , 7.999999....8, 7.99999...9, 8
이렇게 구간 내 모든 실수에 대한 개념인가요? (기하적 의미 배제하고)

2. 기하적 의미를 생각하면 S'(x)=f(x)라 구간 내 모든 실수에 대해 하나씩 함숫값이 대응되기때문에 절댓값함수가 피적분함수로 나오면 구간별로 나누는게 이해가 됩니다. 그래야 하나씩 대응되는 함숫값들이 계속 이어나가다가, 절댓값함수가 부호바뀌는 지점에서 대응되는 함숫값이 변하기 때문입니다. 예를 들어 |x-5|는 4.9999...9, 5까지는 ---(x-5)에 대입하지만, 5.00000...1부터는 x-5 에 대입되기 때문입니다.

"2." 의 내용은 제가 스스로 생각해본건데, 기하적 의미를 고려했을때 정적분의 피적분함수에 있는 절댓값함수에서 구간 나누는 이유가 이게 맞나요?
그리고 기하적 의미를 고려하지 않았을때는 왜 구간을 나누는건가요?
수1의 내용을 잠깐 빌리자면, "시그마 |k-4| k=1부터 10까지" 를 봤을때 그래프상에서 k=1,2,3,4 까지 가다가 k=5에서는 -(k-4)에 대입합니다. 수열은 정의역이 자연수이긴 한데, 잠깐 이를 무시하고 간격을 0.5로 촘촘하게 설정하면, k=0.5 , 1, 1.5, 2, ... , 9.5 , 10까지 가고, 간격을 점점 줄여 0.000....1로 설정하면 정의역이 실수인 함수와 다름없게 됩니다. 따라서 시그마를 구할때 절댓값함수의 부호가 바뀌는 지점을 기준으로 구간을 나눌 수 있습니다. 이처럼 구간을 나눌 때는 (k-4) -> -(k-4)로 부호가 바뀌는 지점에서 식이 달라져 구간을 나누게 되는데, 정적분의 경우에는 "인테그랄 0에서 6까지 |x-2|dx"를 인테그랄 0에서 2 (x-2)dx + 인테그랄 2에서6 -(x-2)dx"로 계산하는데, 여기서 f(x)가 대상이 아니라 F(x)가 대상이 되어 f(2)-f(0) 이 아니라 다른 식인 F(2)-F(0)를 계산하는것인데, 왜 절댓값을 나누는건가요?

2023.07.25 13:37

답글

안녕하세요. 이해원 연구소 코시입니다.

1. 미적분 교과서 ‘정적분의 활용’ 파트를 빼놓으면 이 질문에 대한 충분한 답을 드릴 수 없으니, 직접 미적분 교과서를 한번 확인해 보시고 아래 내용을 읽어주세요.

정적분의 개념(정의)는 부정적분 F(x)를 구한 뒤 실수를 대입하는 개념이 절대 아닙니다. 미분은 뉴튼과 라이프니츠가 만든 개념이지만 정적분은 고대 그리스부터 시작된 개념으로, 시기상으로도 정적분은 미분의 역연산에서 정의된 것이 아니라 기하적 의미를 빼놓고선 말할 수 없는 개념입니다. 많은 수학적 정리들로 인해, 정적분 값과 미분의 역연산에 대입한 값이 같다는 사실이 증명되어 고등 수학에서 정적분값을 이 방식으로 구하고 있을 뿐입니다.

교과서 정적분과 급수 내용에서, f(x) 그래프의 구간 [a, b]를 n등분하여 각각의 구간별 작은 직사각형 조각 하나하나의 넓이에 시그마를 취하고 n을 무한대로 보낸 값과 정적분값이 같다는 내용이 들어가 있습니다. 현재 교육과정에는 이 내용이 활용 파트에 들어가 있으나, 실제로는 이 내용이 적분에 대한 정의에 가깝습니다.

조금 더 자세히 설명하면, 넓이에 시그마를 취한 값을 n에 대한 수열로 본 뒤, 수열이 수렴하는 개념과 샌드위치 정리를 사용하여 적분을 정의합니다. (첨부한 그림과 같이 구간에서 그래프의 밑넓이보다 작은 직사각형과 큰 직사각형으로 수열을 두 개 잡아서, 각각의 시그마 값에 대해 극한을 생각해주기 때문입니다. 이때 그래프의 밑넓이보다 큰 값과 작은 값이 한 값으로 수렴하는 과정에서 샌드위치 정리가 사용됩니다.)

정리하면, 정적분은 수열의 수렴에 대한 개념입니다.

2. 기하적 의미를 고려해서 작성해주신 대로 이해하는 것이 가장 정석적인 방법이라 생각합니다.
실제로, 나누지 않고 계산할 수 있습니다. 위 댓글에서 예시로 들어드린 f(x)=|(x-1)(x-2)|의 [0,3]에서의 적분을 구하기 위해 구간별로 나누지 않은 부정적분을 한번 직접 구해보시길 바랍니다.

2023.07.25 13:39

답글

----------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------------------------------

부정적분한 식 F(x)를 구하면

F(x)=1/24 (14 + 36 x - 27 x^2 + 6 x^3 + (6 - 36 x + 27 x^2 - 6 x^3) sgn(2 - x) + sgn(1 - x) (-10 + 36 x - 27 x^2 + 6 x^3 + (-10 + 12 x - 9 x^2 + 2 x^3) sgn(2 - x)))

이때

sgn(x)=1 (x>0)
...............0 (x=0)
...............-1 (x<0)

입니다. 이제 F(3)-F(0)을 구하시면 됩니다.

이처럼, 절댓값 함수가 일차함수일 경우는 그 적분이 쉬우나, 범위가 늘어나고 함수가 복잡해질수록

절댓값 함수의 구간을 나누지 않은 부정적분 : 구하기 매우 힘들어짐
구간을 나눈 부정적분 : 구간을 나누어 정적분하는 계산과정과 똑같음

과 같이 이해할 수 있습니다.