한시수 중 p.18

[자유]학습 Q&A

한시수 중 p.18

중점연결정리 관련해서 질문드립니다.

ABC의 중점을 연결해서 새롭게 만든 삼각형 PQR의 둘레 길이가 ABC의 둘레 길이의 1/2이 되는 것까지는 이해가 갔습니다.

그럼 여기서 더 질문이 있습니다. 삼각형 PQR은 삼각형 ABC와 닮음 관계인가요? 또한, 길이비가 1:2로 줄어들었으므로, 넓이비도 1:4로 줄어드는 게 맞나요?

이에 연장선상에서 추가적인 질문이 있습니다.

제가 여기 노트에 그린 것처럼 사각형의 중점을 연결한 도형도 같은 성질이 적용되는지 알고 싶습니다. 즉 사각형 ABCD의 선분의 길이가 중점을 연결해서 새롭게 만들어진 사각형 EFGH의 선분 길이의 2배가 되는 게 맞나요? 그리고 만약, 이게 맞다면 넓이비도 1:4가 되는 게 맞을까요? 마지막으로 사각형 ABCD와 EFGH는 닮음 관계가 성립하는지 알고 싶습니다.

2023.07.20 23:43

답글

질문을 정정합니다. 사각형의 중점연결정리를 쓰면 넓이비가 항상 1:2가 되는 게 맞나요? 로 바꾸겠습니다. 1/4은 절대 안 나오겠군요..

2023.07.21 13:03

답글

안녕하세요. 이해원 연구소 코시입니다.

우선, 닮은 두 도형의 길이비가 1:a일 때, 넓이비는 1:a^2가 됩니다.

우선, 모든 삼각형과 직사각형에 대해서는 길이비와 넓이비의 관계를 쉽게 볼 수 있습니다.
아직 적분 파트를 배우지 않으신 것 같아 간단히 설명드리자면, 원과 같이 곡선으로 이루어진 어떤 도형의 넓이를 구할 때는 한완수 미적(하) 314p에 나오는 그림과 같이

1. 무수히 많은 삼각형 또는 사각형 등으로 작게 자른 뒤
2. 한 개의 조각의 넓이를 수열로 나타내어 시그마를 통해 넓이를 구하게 됩니다.
(이것이 수학1, 미적에 수열과 시그마를 배우는 이유 중 하나라 생각합니다.)

따라서 길이비가 1:a인 닮은 두 도형을 둘 모두 n등분하여 직사각형의 넓이로 나타내면

각각의 직사각형은 길이비가 1:a, 넓이비가 1:a^2이고
⟶ 직사각형들의 합으로 나타난 넓이 또한 넓이비가 1:a^2가 나오게 됩니다.

저는 고등학생 때 물리1,2를 배워 ‘길이는 1차원, 넓이는 2차원이므로 비율 1:a인 1차원들의 곱인 2차원의 비율은 1:a^2이다.’ 이런 식으로 이해하고 넘어갔습니다. 참고로 부피비는 1:a^3이 됩니다.

질문주신 사각형의 중점연결정리를 사용하면 넓이비는 항상 1:2가 나오게 됩니다. 관련한 설명은 사진으로 첨부해 드리니 참고하시길 바랍니다.

*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.

2023.07.21 13:58

답글

헤링

아하, 이렇게 도형을 쪼개어 보면, 사각형도 삼각형의 연장으로 생각할 수가 있겠네요. 또한, 중점을 연결하여 새로 만들어지는 사각형의 넓이가 이전의 원래 사각형의 넓이와 1:2 비율을 갖기 때문에, 선분의 길이비는 1:a인 1:sqrt2 관계를 가지겠네요. 답변 감사드립니다. 이해하는 데에 도움이 되었습니다.