한완수 공통 중 p.257

[자유]학습 Q&A

한완수 공통 중 p.257 - Ex05)

이 문제를 풀다가 두 가지 의문점이 생겨서 질문을 드립니다.

첫 번째 질문은, 만약에 이 문제에서 (다) 조건이 주어지지 않았더라면, 아래에 제가 그린 그림처럼 저러한 형태의 삼차함수 f(x)가 나타날 수도 있는가? 라는 질문입니다. 즉, (다) 조건이 없다는 가정 하에, (가)/(나) 조건만으로는 바로 f(x)=x^2*(x+k)라는 식을 세우지 못하는 것인가? 에 관하여 여쭤보고 싶습니다. 제가 그린 그림에 의하면 f(x)=x^2*(x+k)의 형태는 성립하지 않습니다.

두 번째 질문입니다. (다) 조건이 만약에 변형되어, f'(x)-f(x) >=0 이라는 조건으로도 주어질 수 있는지 여쭤보고 싶습니다. 만약, 그게 가능하다고 한다면 이 조건이 함의하는 바가 정확하게 무엇인지 그 의미에 대해서도 알고 싶습니다.

사진을 첨부합니다.

2023.07.10 23:39

답글

다시 문제를 풀어보면서, 제 질문이 조금 잘못되었다고 생각되어 질문을 수정합니다.

첫 번째 질문의 “ 즉, (다) 조건이 없다는 가정 하에, (가)/(나) 조건만으로는 바로 f(x)=x^2*(x+k)라는 식을 세우지 못하는 것인가? 에 관하여 여쭤보고 싶습니다.” 라는 문장에서 f(x)를 h(x)로 바꾸겠습니다.

2023.07.11 12:37

답글

안녕하세요. 이해원 연구소 코시입니다.

두 조건 (가), (나)만 있는 경우에는 바로 h(x)=x^2*(x+k) 식을 세울 수 없습니다. h(x)=f(x)-f'(x)가 x=0에서 접해야 할 이유가 없기 때문입니다. (가)조건을 만족하는 함수 f(x)=x^3+ax^2+bx+c에 대하여 (나)조건을 만족하기 위해 b=c이고,

h(x)=x^3+ax^2+bx+b-3x^2-2ax-b=x^3+(a-3)x^2+(b-2a)x

에서 b와 2a에 대한 관계는 주어진 것이 없습니다.

두 번째 질문에 대해서는, f‘(x)는 이차함수이고 f(x)는 삼차함수이며 두 함수의 계수는 양수이므로 f'(x)-f(x)≥0 이라는 조건으로 주어지기 위해서는 x의 범위 또한 x≤α와 같은 꼴로 주어져야 합니다.

한완수(중) 49p~에 배운 ‘무한대로 가는 속도’ 내용을 생각해봅시다. 노트와 같이 x≥0으로 주어진다 가정하면 삼차함수는 이차함수보다 무한대로 가는 속도가 빨라 어느 지점부터 f(x)>f'(x)를 무조건 만족하게 되어 모순입니다.

(다)조건은 첫 번째 대답에서 b와 2a 사이의 관계를 b=2a로 만들어 주는 조건이라는 것까지 볼 수 있습니다.

*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.

2023.07.11 18:47

답글

헤링

답변 감사드립니다. 도함수와 원함수의 관계는 원함수와 그것의 기울기로 해석하기 이전에, 서로 다른 차수의 다항함수로 비교해보는 게 더욱 직관적인 파악을 가능하게 하네요. 궁금한 점은 모두 해소되었습니다.