하나의 큰 줄기에서 뻗친 자잘한 의문들이라 한번에 같이 질문드리는점 죄송합니다.

제 나름 답을 내려보려 해도 제 판단이 맞는지도 의문이고 저보다 수많은 경험을 가지신 분들이 답을 해주시는 게 훨씬 정확할 것 같아 이렇게 질문 드립니다.

절대부등식이나 항등식이 평균변화율로 표현될 때 그 평균변화율에 극한을 취해서 미분계수로 바라보는 경우 

예를 들어, 2016.9.B.30번(한완수 미적분 하 J08) / 2011.9.가형. ㄴ보기 (한완수 미적분 상 H10) / 2023.수능.22번

1. 절대부등식이나 항등식에서는 항상 극한 취할 수 있나? 아니면 극한을 보낼 수 있는 특별한 조건이 존재하나?

2. 극한을 보냈을 때 나오는 미분계수로 표현된 식과 원래의 평균변화율로 표현된 식이 항상 동치인가? (필요충분인가?) 즉, 문제에서 주어진 평균변화율로 표현된 식 대신에 내가 임의로 극한을 보낸 미분계수로 표현된 식으로 대체하여 문제를 풀어도 되는 것인가?

3. 동치가 아니라면, 동치로 만들기 위해선 어떤 조건이 필요하나?

4. 만약 필연성을 부여해본다고 할 때 절대부등식이나 항등식이 평균변화율로 표현될 때 평균변화율과 미분계수 중 무엇으로 해석하는 것이 일반적인가? or 유리한가?

5. 만약 경우에 따라 유리한 해석이 다르다면 이것을 판단하는 기준은 무엇인가?

내생각) 항등식의 경우는 당연히 동치가 아닌 특정한 값에 대한 조건만 얻을 수 있고, 절대부등식의 경우도 등호가 없었다면 등호가 생기는 등 동치가 아닐 것으로 예상됩니다. 따라서 일반적으로 평균변화율로 해석하되 극한을 한번 보내봄으로써 추가 조건을 얻는 방향으로 해석하는 것이 적절하다고 생각했습니다. 하지만 절대부등식의 경우에는 일정한 경우를 배제하면 동치로 만들 수 있을 것 같은 직관이 드는데 그 경우에 대한 판단이 막막해 질문하게 되었습니다.

평균변화율로 무엇을 해석한다는 것 자체가 모호함이 내포되어 있다고 생각하고(모든 x1,x2에 대해서 평균변화율값의 범위를 조사한다는 것 자체가 불가능, 직관적인 판단일 뿐) 이를 미분계수로 바라본다면 훨씬 더 직관적이고 정확한 풀이가 가능해질 것 같다고 생각했습니다. (추가로 어차피 평균변화율로 계산하다보면 평균값 정리를 통해 미분계수를 무의식중에 활용하게 되기에 이런 생각의 정당성이 충분하다고 생각됩니다.)

항상 답변해주시는 내용덕에 점차 수학실력이 증진되고 있는 것 같아 매번 감사드립니다.