형광펜으로 표시한 두 명제들 중 두번째 명제에 아래와 같은 조건을 명시할 경우 명제가 참이 되는지 궁금합니다.
f(x)가 역함수가 존재할 때 or f(x)가 일대일 대응일 때
2023.07.03 12:19
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답글
안녕하세요. 이해원 연구소 코시입니다.
우선, f(x)가 역함수를 가질 필요충분조건은 f(x)가 일대일 대응입니다. 즉, 작성해주신 두 조건은 같은 조건입니다.
일대일 대응인 함수 f(x)에 대해, f^(-1)이 존재하므로 식 f(g(x))=x의 양변에 함수 f^(-1)을 취해줄 수 있고,
f^(-1)(f(g(x))=f^(-1)(x)
에서 f^(-1)(f(x))=x이므로 좌변을 정리하면 g(x)입니다. 즉, g=f^(-1)을 만족하여 질문주신 명제는 참이 됩니다.
*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.
우선, f(x)가 역함수를 가질 필요충분조건은 f(x)가 일대일 대응입니다. 즉, 작성해주신 두 조건은 같은 조건입니다.
일대일 대응인 함수 f(x)에 대해, f^(-1)이 존재하므로 식 f(g(x))=x의 양변에 함수 f^(-1)을 취해줄 수 있고,
f^(-1)(f(g(x))=f^(-1)(x)
에서 f^(-1)(f(x))=x이므로 좌변을 정리하면 g(x)입니다. 즉, g=f^(-1)을 만족하여 질문주신 명제는 참이 됩니다.
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