안녕하세요. 이해원 연구소 yz입니다.

1. x=a에서의 미분가능성이 확인되었고 p'(a)=f'(a)임이 보장된다면 p'(x)=f'(x) (x≤a)와 같이 나타낼 수 있습니다. p'(a)=g'(a)가 보장된다면 마찬가지로 p'(x)=g'(x) (x≥a)로 나타낼 수도 있습니다.
처음 미분하는 단계에서 x=a를 제외하는 이유는 '모르기 때문'입니다.

2. 질문의 의도를 확실히 하기 어려워서 우선 제가 이해한 대로 답변을 드리겠습니다.
먼저 'x=a가 아닐 때'라는 표현을 잘못 이해하시고 계신 듯합니다.
'x=a가 아닐 때'라는 것은 f'(a)를 계산할 때, 즉, 극한값 lim(x->a) {f(x)-f(a)}/(x-a)를 구하는 단계에서 쓰는 표현입니다.
이는 p(x)가 구간별 함수인 것과는 관계가 없습니다.
a가 아닌 b에 대하여도 당연히 'x=b가 아닐 때'를 가정하고 lim(x->b) {f(x)-f(b)}/(x-b)를 계산하는 것입니다. 즉, 미분가능한 지점 x=b에서도 'x=b가 아닐 때'의 극한값을 이용하여 미분계수가 정의된다는 것입니다.

만약 제가 질문을 잘못 파악한 것이라면 'x=a가 아닐 때 정의되기 때문에'라는게 구체적으로 어떤 의미인지 설명해주시면 추가로 설명을 드리겠습니다.

*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.