안녕하세요. 이해원 연구소 코시입니다.

등차수열의 합은 n에 대한 이차함수 형태로 나타나기 때문에 해설에 있는 그림과 같이 이차함수의 점 위에 대응될 수 있습니다. 이때 S_9=S_18을 만족하기 위해서는 9와 18의 평균값 27/2이 이차함수 대칭축의 x축 좌표가 됩니다.

이제 대칭성을 다시 한번 살펴보면, S_9=S_18뿐만 아니라

S_8=S_19, S_7=S_20, ... , S_1=S_26
S_10=S_17, ... S_13=S_14

과 같이 더하여 27이 되는 자연수 n의 쌍이면 대칭이 성립하는 것까지 알 수 있습니다.

이제 집합 T_n을 살펴보면, T_n은 S_1, S_2, ... S_n를 전부 포함하는 ‘집합’입니다. 집합이기 때문에 중복된 원소를 제외해주어야 한다는 점에 주목하여 원소의 개수가 13이 되도록 우선 n=13을 대입하여 T_13을 살펴보면

T_13={S_1, S_2, ... , S_13}

이때 S_1부터 S_13까지는 모두 다른값을 갖습니다(더해서 27을 만족하는 두 자연수가 없기 때문입니다.)
이제 T_14를 살펴보면

T_14={S_1, S_2, ... , S_13, S_14}

에서 S_13=S_14를 만족하므로 중복된 원소를 지워주면 T_13=T_14이 성립하는 것을 알 수 있고, 같은 원리로

T_13=T_14=T_15= ... =T_26

까지 성립하게 됩니다.(S_27의 경우 대칭되는 S_0은 존재하지 않아 S_27은 S_1 , ... S_26중 겹치는 값이 없어 T_27의 원소의 개수는 13+1=14개가 되는것까지 확인할 수 있습니다.)

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