27번문제 n에 123 대입하다보면 an=2n (n이 2보다 크거나 같을때) 이라는데 대입해보니까 a1=1, a2=4, a3=6, a4=8 a5=10 나오긴 하는데 그후로도 2n이라는 확신을 어떻게 갖죠?
2023.06.12 12:46
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답글
안녕하세요. 이해원 연구소 코시입니다.
수열 문제에서 대입하여 패턴을 도출해낸 이후, 질문주신 것과 같이 의문을 갖고 검증해보는 과정을 거치는 것은 수학 실력 향상에 커다란 도움이 될 수 있습니다. 이 문제의 경우, 식을 정리하면
[2^(2n-1)]-[2^n]≤[2^(m-1)]-1
에서, n≥2인 자연수의 경우 [2^n]>1이 되어 m=2n일 때 위 식은 무조건 만족하게 됩니다. 즉, m은 2n보다 작아질 수는 있어도 커질 수는 없게 됩니다. 이제 m에 2n-1을 대입하여 m이 2n보다 작아질 수 있나 확인해 보면
[2^(2n-1)]-[2^n]○[2^(2n-2)]-1 (○은 부등호의 방향을 몰라 빈칸으로 남겨둔 것입니다.)
⟶ 2*[2^(2n-2)]-[2^n]○[2^(2n-2)]-1
⟶ [2^(2n-2)]-[2^n]○-1
n≥2에서 [2^(2n-2)]≥[2^n]이므로 ○ = > 이고, 따라서 n≥2에서 m=2n보다 작아지거나 커지지 않고 등차수열로 자연스레 정의됩니다.
*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.
수열 문제에서 대입하여 패턴을 도출해낸 이후, 질문주신 것과 같이 의문을 갖고 검증해보는 과정을 거치는 것은 수학 실력 향상에 커다란 도움이 될 수 있습니다. 이 문제의 경우, 식을 정리하면
[2^(2n-1)]-[2^n]≤[2^(m-1)]-1
에서, n≥2인 자연수의 경우 [2^n]>1이 되어 m=2n일 때 위 식은 무조건 만족하게 됩니다. 즉, m은 2n보다 작아질 수는 있어도 커질 수는 없게 됩니다. 이제 m에 2n-1을 대입하여 m이 2n보다 작아질 수 있나 확인해 보면
[2^(2n-1)]-[2^n]○[2^(2n-2)]-1 (○은 부등호의 방향을 몰라 빈칸으로 남겨둔 것입니다.)
⟶ 2*[2^(2n-2)]-[2^n]○[2^(2n-2)]-1
⟶ [2^(2n-2)]-[2^n]○-1
n≥2에서 [2^(2n-2)]≥[2^n]이므로 ○ = > 이고, 따라서 n≥2에서 m=2n보다 작아지거나 커지지 않고 등차수열로 자연스레 정의됩니다.
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