안녕하세요. 이해원 연구소 코시입니다.

말씀주신 대로, 함수 g는 비둘기집 원리에 의해 일대일함수가 될 수 없어 역함수가 존재하지 않습니다. 단, 함수에서 묻는 역함수는 함수 g와 f의 합성함수 g∘f=h 의 역함수로, 함수 h를 따로 생각하면 두 유한집합인 정의역 A와 공역 C의 원소의 개수가 일치하여 역함수가 존재할 수 있게 됩니다. 예를 들어, 문제 조건에서

f(x)=x
g(1)=a, g(2)=b, g(3)=c g(4)=c

라 하면

g∘f(1)=a, g∘f(2)=b, g∘f(3)=c

와 같이 정의역 한 원소에 공역의 한 원소가 빠짐없이 대응되는 일대일 대응 관계임으로 역함수가 존재하게 됩니다.

문제 조건에서뿐만이 아닌 익히 아는 다항함수와 유리함수를 예시로 살펴보면

f(x)=x^(1/2), g(x)=x^2

라 하면 g(x)는 역함수가 존재하지 않지만 함수 g∘f는

정의역 : x≥0, g∘f(x)=x

이므로 역함수가 존재하게 됩니다. 정리하면, 각각의 함수가 역함수를 가지고 있지 않아도 합성한 함수는 역함수가 존재할 수 있습니다.

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