안녕하세요. 이해원 연구소 코시입니다.

우선, 신뢰도는 n이 커진다고 늘어나거나 줄어드는 값이 아닌, 우리가 임의로 설정하는 독립적인 값입니다. 50%의 신뢰도를 보고 싶으면 50%에 해당하는 k값을 대입하고, 95%의 신뢰도를 보고 싶으면 95%에 해당하는 k=1.96을 대입하는 것입니다.

신뢰구간의 길이가 2kσ/(n)^1/2인 이유에 대해 생각해봅시다.
우선 k는 신뢰도에 대응되는 값으로, 신뢰도가 변하지 않으면 k의 값도 변하지 않고, 2k 옆에 곱해진 값은 표준편차입니다.
첨부한 그림에서 색칠한 세 영역의 넓이는 모두 0.95입니다. 이때 그림과 같이 표준편차가 커질수록 0.95에 해당하는 넓이를 가지기 위해서는 구간의 길이가 커진다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 신뢰구간의 길이는 신뢰도가 일정하면 그림에서도 볼 수 있고 식에서도 볼 수 있듯이 표준편차의 크기에 비례합니다.
이때 표본평균의 표준편차는 σ/(n)^1/2 으로, n의 값이 커질수록 표준편차는 줄어들게 됩니다.

정리하면,
n이 커질수록 표준편차가 작아짐
⟶ 표준편차가 작아지면 확률밀도함수는 m에서 더 높고 더 가파르게 감소하는 함수가 됨
⟶ 신뢰도를 유지하는 경우 같은 넓이를 구하기 위해 n이 더 큰쪽(표준편차가 더 작은쪽)의 구간의 길이가 더 작음

신뢰구간의 길이를 단순히 2kσ/(n)^1/2 라고 암기한 뒤 적용하는 것도 좋은 방법이지만, 이처럼 왜 이 값이 나왔는지에 대해 생각해보신다면 학습에 더더욱 도움이 될 수 있습니다.

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