267pg Ex4 (a) 의 그래프를 그려보다가 궁금한 점이 있어 질문드립니다. (위에 포스트잇에 적은 내용을 참고하시면 좋을 것 같습니다.)

함수의 도함수를 구하는 과정 중에 함수를 미분 후 도함수가 0이되는 점을 찾기 위해 '도함수=0'이라고 두고 양변을 제곱하여 이 방정식을 풀어보았습니다. 그러면 그 방정식을 만족하는 실근은 +루트2, -루트2 이렇게 두가지가 나오는데 다시 역으로 도함수에 -루트2를 대입해보면 0이 되지 않습니다.

사실상 이 내용이 함수를 직관적으로 추론해보는 과정(원함수든, 도함수든)에서는 당연하게 받아들여지는데 제가 위와 같이 수식적으로 전개하는 과정에서 어떤 모순이 있었는지 궁금합니다. 또한 이런 논리적 모순을 방지하기 위해서 어떤 점을 선행적으로 고려해줬어야 할까요?

혼자 고민해본 결과로는 아마 방정식에서 양변을 제곱하는 과정중에서 문제가 생기지 않았나 추측해봅니다. 루트는 결국 양수이기에 양변을 제곱하기 전에 이미 X는 양수임을 고려해줬어야 하는 것인가요?

+추가로 한완수 수1수2(중) 212pg 각주에 있는 내용에 대해서도 질문합니다. (만약 한 게시글에 두 질문이 안된다면 답변 안해주셔도 좋습니다.)

역함수일 조건에서 '구간에서 정의된 연속함수 f(x)에 대하여'라는 조건이 명시되어 있는데, 이 조건이 필요한 이유와 그 의미를 잘 모르겠습니다. 

실수 전체에서 정의된 함수 중 다항함수의 경우 실수전체의 집합에서 증가함수이거나 감소함수이면 역함수가 존재하니 이런 사례가 반례가 되는 거 아닌가 생각했습니다.

혼자 고민해본 결과로는 실수 전체에서 정의된 연속함수가 증가, 감소함수이면 당연히 역함수가 존재하지만 어떤 함수가 일부 구간에서만 증가, 감소함수여도 함수를 그 구간에 대해서만 정의해버리면 그 구간에서 정의된 연속함수는 역함수가 존재한다고 볼 수 있기에 저렇게 표현한 것일까요?

역함수가 존재할 조건에 대한 명확한 정리가 필요합니다. 그냥 기본 정의인 일대일대응으로 생각하고 있어야하나요?

질문이 너무 다양하고 뭔가 어려운것 같아 죄송합니다. 항상 고생 많으시고 오늘도 좋은 하루 되세요!