집합에서 수열은 0으로 수렴하는데 급수는 수렴하지 않는 경우가 잘 안 와닿아서 질문드려요!!
수열의 극한이 0으로 수렴한다는건 어느 부분 부터는 계속 0인 항을 무한개만큼 더해준다는건데 어떻게 급수가 수렴하지 않을수 있나요?
2023.05.18 20:50
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답글
안녕하세요? 이해원 수학연구소 도현입니다.
말씀하신대로 어느 부분부터 0인 수열의 급수는 수렴하는 것이 맞습니다. 그러나, 극한값이 0인 수열 중에는 어느 부분부터 계속 0이 아닌 수열도 있습니다.
질문주신 한완수 미적분(상) 70p의 각주의 수열 an=1/n이 그 예시입니다. 이 수열의 극한값은 0이지만, 값이 0인 항은 갖지 않습니다.
그리고 이 수열의 급수는 발산합니다. (이에 대한 증명은 답글의 이미지 파일로 달겠습니다.)
그렇다고 해서 어느 부분부터 계속 0인 수열만이 그 급수가 수렴하는 것은 아닙니다. 그에 대한 예시는 질문주신 부분의 뒤에서 배울 등비급수가 있습니다. 등비수열 an=(1/2)^n은 극한값이 0이고 값이 0인 항을 갖지 않지만, 그 급수는 1로 수렴합니다.
즉, "급수가 수렴하면 그 극한값이 0이다"만이 확실한 팩트이고, 극한값이 0인 수열의 급수가 수렴할지 발산할지는 수열마다 다르다고 생각하시면 됩니다. 그래서 70p의 그림과 같은 포함관계가 성립하는 것입니다.
*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.
말씀하신대로 어느 부분부터 0인 수열의 급수는 수렴하는 것이 맞습니다. 그러나, 극한값이 0인 수열 중에는 어느 부분부터 계속 0이 아닌 수열도 있습니다.
질문주신 한완수 미적분(상) 70p의 각주의 수열 an=1/n이 그 예시입니다. 이 수열의 극한값은 0이지만, 값이 0인 항은 갖지 않습니다.
그리고 이 수열의 급수는 발산합니다. (이에 대한 증명은 답글의 이미지 파일로 달겠습니다.)
그렇다고 해서 어느 부분부터 계속 0인 수열만이 그 급수가 수렴하는 것은 아닙니다. 그에 대한 예시는 질문주신 부분의 뒤에서 배울 등비급수가 있습니다. 등비수열 an=(1/2)^n은 극한값이 0이고 값이 0인 항을 갖지 않지만, 그 급수는 1로 수렴합니다.
즉, "급수가 수렴하면 그 극한값이 0이다"만이 확실한 팩트이고, 극한값이 0인 수열의 급수가 수렴할지 발산할지는 수열마다 다르다고 생각하시면 됩니다. 그래서 70p의 그림과 같은 포함관계가 성립하는 것입니다.
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2023.05.18 20:50
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도현
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