안녕하세요. 이해원 연구소 코시입니다.

일반적으로 고등 과정에서 공역과 치역에 대한 별 언급이 없는 경우 치역을 곧 공역으로 봅니다. y=2^x를 예시로 들면, 실수 ⟶ 실수 인 정의역과 공역에서는 일대일대응이 아니지만, 공역을 y>0으로 두면 일대일대응을 만족합니다.

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적힌 예시가 전부 맞다고 가정했을 경우의 두 경우에서 함숫값을 구해보시길 바랍니다.

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함수 y=2^x=f(x)가 일대일함수이고 일대일대응이 아니고, 그 역함수가 존재하여 y=g(x)라 해보겠습니다.
y=f(x)의 정의역과 공역이 실수 전체의 집합인 경우 y=g(x)의 정의역과 공역은 실수 전체의 집합이므로 모든 실수 x에 대해 y(=g(x))값이 존재해야 합니다.

g(-1)=?

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y=x^2=f(x)의 정의역이 실수 전체이고 공역은 0보다 크거나 같은 실수라고 하겠습니다. y=f(x)의 역함수 y=g(x)를 생각하면 y=f(x)가 (a, b)를 지나는 경우 y=g(x)는 (b, a)를 지나는 것이 역함수입니다.
함수 f(x)는 (2, 4), (-2, 4)를 지나는데, 이때

g(4)=?

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첫 번째 물음에서는 2^a=-1을 만족하는 실수 a가 존재하지 않아 함숫값이 존재하지 않고
두 번째 물음에서는 g(4)=2, -2로 x 한 개에 대응되는 y가 두 개가 나오게 됩니다.

함수는 정의역의 ‘모든 x’에 대해 대응되는 y값 ‘한 개’가 나와야 하므로 두 경우 모두 역‘함수’가 존재하지 않게 됩니다.

교재 등에서 y=3^x 등의 지수함수가 역함수를 갖는다고 하는 것은 그 공역을 y>0으로 설정해줬기 때문이며, y=x^2의 역함수를 정의하여 y=x^(1/2)라 할 때는 x≥0같이 정의역을 항상 제한해줍니다.

이처럼 일대일대응을 만족하지 않는 경우 역함수는 존재하지 않습니다. 위의 두 경우에서 역함수를 만들어주기 위해서 일대일대응으로 만들어주는 작업을 하고 있는 것을 볼 수 있습니다.

g(4)의 경우, 함수의 정의에 따라 g(4)의 값이 존재해야하기 때문입니다.

두 함수

p(1)=2, p(2)=3, p(3)=1, p(4)=3
q(1)=2, q(1)=3, q(3)=1, q(4)=1

p와 q가 다른 함수라는 것은 충분히 알 수 있습니다. 따라서

1. 4가 선택받지 않았다 해도 함숫값은 존재해야 한다.
2. 선택받지 못한 원소의 함숫값이 달라지면 함수가 달라진다.

이런 이유로 f(x)에서 선택되지 않은 원소도 고려해줘야 합니다.

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