구간 변경에서 어떻게, 그리고 왜 이런 방식으로 구하는지 잘 모르겠습니다. 이 또한 필연적 발상이라고 생각해야할까요?
2023.05.05 12:48
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답글
안녕하세요. 이해원 연구소 코시입니다.
[α,β]⟶[0,1]로 바꾸는 경우 적분 이후 변수 대입이 간단해지고, 문제와 같이 (x-α)(x-β)를 적분할 때 x^2-(α+β)x+αβ를 적분하는 것보다 t^2-t를 적분하는 것이 더 간편해지는 등 구간 변경만으로 문제를 더 쉽게 접근할 수 있게 됩니다.
치환을 바로 해서 어렵게 느껴지실 수 있지만 단계적으로 생각해보신다면 간단한 풀이이므로 단계별로 적어드리겠습니다.
적분 구간을 [α,β]⟶[0,1]로 바꾸는 경우, 시작점을 0으로 맞추는 것부터 하는 것이 좋습니다.
x를 -α만큼 평행이동하면
p=x-α
[α,β]⟶[0,β-α]
이제 구간의 길이 β-α를 1로 맞춰주기 위해 p에 1/(β-α)를 곱하면
t = p/(β-α) = {1/(β-α)}(x-α)
[0,β-α]⟶[0,1]
시점을 먼저 0으로 맞추면 이후 구간의 길이를 조절할 때 시점 0이 곱셈에도 변하지 않으므로 시점 먼저 바꿔주는 것이 좋습니다.
*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.
[α,β]⟶[0,1]로 바꾸는 경우 적분 이후 변수 대입이 간단해지고, 문제와 같이 (x-α)(x-β)를 적분할 때 x^2-(α+β)x+αβ를 적분하는 것보다 t^2-t를 적분하는 것이 더 간편해지는 등 구간 변경만으로 문제를 더 쉽게 접근할 수 있게 됩니다.
치환을 바로 해서 어렵게 느껴지실 수 있지만 단계적으로 생각해보신다면 간단한 풀이이므로 단계별로 적어드리겠습니다.
적분 구간을 [α,β]⟶[0,1]로 바꾸는 경우, 시작점을 0으로 맞추는 것부터 하는 것이 좋습니다.
x를 -α만큼 평행이동하면
p=x-α
[α,β]⟶[0,β-α]
이제 구간의 길이 β-α를 1로 맞춰주기 위해 p에 1/(β-α)를 곱하면
t = p/(β-α) = {1/(β-α)}(x-α)
[0,β-α]⟶[0,1]
시점을 먼저 0으로 맞추면 이후 구간의 길이를 조절할 때 시점 0이 곱셈에도 변하지 않으므로 시점 먼저 바꿔주는 것이 좋습니다.
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