안녕하세요. 이해원 연구소 코시입니다.

문제에서 수의 덧셈 x+2x+2z가 주어져 있고 수의 곱셈 (x)(x)(z)의 최댓값을 찾을 때 산술기하 평균을 사용할 수도 있다는 아이디어에서 출발합니다.

문제에서 (x)(x)(z)의 최댓값을 구해야 하므로 변수가 3개인 경우의 산술기하평균을 사용하면 구할 수 있습니다. 이때 변수 3개에 대한 산술기하 평균에 관한 식

x+y+z≥3{(xyz)^(1/3)} (x,y,z>0) - Ⓐ

을 보면, x=y=z일 때 등호가 성립합니다.

이제 3x+2z=54에서 (x^2)z의 최댓값을 구하기 위해

ax+bx+2z=54

와 같이 3x를 ax+bx로 나눠주어 식 Ⓐ에 대입하는 경우 (x^2)z의 최댓값을 구할 수 있습니다. 이때 a≠b인 경우를 살펴봅시다. 예를 들어 a=1, b=2인 경우에

x+2x+2z=54
⟶ x+2x+2z=54≥3{(x)(2x)(2z)}^(1/3) (x,z>0)
⟶ (18)^3≥4(x^2)z
⟶ 1458≥xyz

등호가 성립하기 위해서는 x=2x=2z를 만족하여야 합니다. 이때 x=2x를 만족하기 위한 x의 값은 0뿐이므로 부등식 1458≥xyz는 등호를 만족하는 x,z의 값이 존재하지 않습니다. 즉 ,a=b=(3/2)여야 함을 알 수 있습니다.


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