한완수 수12 중 126p

[자유]학습 Q&A

한완수 수12 중 126p | 하 281p

수정중

수12 중 126p

f(x)가 x=2에서 미분가능하므로 lim 쪼갤수있다고 하셨는데 그러면 풀이에는 써있진 않지만

보라색 처럼 lim 쪼개서 연두색 처럼 계산한다는게 맞는건가요?

수12 하 281p G08

해설 73p에는

노란색 삭을 파란색 처럼 나누는/쪼개는 행위 하지 말라고 했는데 답변에서 "수12 하 281p의 경우에는 lim이 나누어져 있다" 가 무슨 말인가요?

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2023.04.21 17:23

답글

안녕하세요. 이해원 연구소 코시입니다.

보라색 식의 경우에는 f(x)는 전구간 미분 가능한 함수이고 도함수가 연속이며 나누어져 있는 각각의 식이 f'(2)의 정의와 같아 lim을 나누어 계산해도 문제가 없습니다.

수12하 281p 파란색 식에는 lim가 나누어져 있고, 저번 댓글은 이 나누는 행위가 왜 문제가 되는지에 대한 구체적인 설명입니다.

*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 댓글로 추가 질문해 주세요.

2023.04.21 18:28

답글

헤링

파란색 식에 대해 lim이 나누어져있다는걸 말씀하신 거군요.

근데 첨부한 사진에서
미분불가능하지 않다
극한값이 존재하는지 알수 있다
극한값은 존재하지 않는다
어떤 순서로 이해해야 되는지 모르겠습니다

그리고 첨부한 사진과 별개로
하권 266p 267p 에서 4,5번에 대하여
우극한:
좌극한:
이렇게 구하고
좌미분계수 우미분계수 모두 존재하고
Ex02 문제의 조건이 극한값이 존재하면...이므로 4,5둘다 우극한과 좌극한이 같아야 하는거 다 똑같은거 같은데
4번은 미분불가능한 경우가 있어서 (예를 들어 y=|x-a|) f'(a)가 항상 존재하는건 아니므로 f'(a)가 존재한다는 건 틀린거 같은데

5번같이 예외사항이 없을땐 좌,우미분계수 존재하고 우극,좌극한 같으면 항상 f는 x=a에서 미분가능해서 f'(a)가 존재하는건가요? 아니면 다른 판단 방법이 있나요?

2023.04.21 18:55

답글

우선 초록색 표현은 오타로, f(x)는 0에서 '미분불가능하므로'로 고치면 이해가 가능할 것입니다. 원 글 댓글에 이해가 좀 더 쉽게 만들기 위해 오타 및 표현을 수정해두었습니다.

x=a에서 f'(x)의 좌극한을 α, 우극한을 β라 하면 f'(a)가 존재하기 위해서는 α=β를 만족해야 합니다.

4번의 경우에는 문제에 주어진 함수 {f(a+h)-f(a-h)/2h}의 좌, 우극한을 직접 계산하면 좌, 우극한의 값이 모두 (1/2)(α+β)으로, α와 β에 별다른 조건이 없어도 주어진 식은 극한값이 존재하게 됩니다.
예시로 y=|x-a|처럼 α=-1, β=1인 경우에도 {f(a+h)-f(a-h)/2h}의 극한값은 0으로 잘 존재하게 됩니다.

5번의 경우에 문제에 주어진 함수 {f(a+2h)-f(a-h)/3h}의 좌,우극한을 직접 계산하면 (1/3)α+(2/3)β, (2/3)α+(1/3)β이 나오고, {f(a+2h)-f(a-h)/3h}의 극한값이 존재하기 위해서는

(1/3)α+(2/3)β=(2/3)α+(1/3)β ⟺ α=β

이므로 f'(x)의 x=a에서 좌, 우극한이 같아져 f'(a)가 존재하게 됩니다.

2023.04.21 20:24

답글

헤링

감사합니다!