안녕하세요. 이해원 연구소 코시입니다.

수12 중 126p의 예시는 f(x)가 x=2에서 미분 가능합니다.
수12 하 266p의 예시는 lim이 쪼개지지 않았으며
수12 하 270p의 예시는 f'(1)=-2로 미분값이 존재합니다.

두 번째 예시에서 lim이 쪼개지지 않았다는 사실이 가장 중요한데, 수12 하 281p랑 같이 설명하겠습니다. 우선 수12 하 266p의 경우에

lim[{f(a+h)-f(a)}/h+{f(a)-f(a-h)}/h]
=lim[f*(h)+f^(h)]
=lim[g(h)]
로 치환하는 경우에는, g(h)의 극한값이 존재하는지를 보기 위해 h⟶0에서의 좌우극한을 따져주어 좌,우극한이 모두 (1/2)(α+β)이므로 극한값이 존재한다 라고 볼 수 있습니다. (이때 f*와 f^는 각각 살펴봤을 경우 좌-우극한이 다르지만 두 값을 더한 함수 f*+f^의 경우에는 좌우극한이 같다는 사실에 주목해주세요.)

하지만, 수12 하 281p의 경우에는 lim가 나누어져 있습니다.

lim[{f(t)-f(0)}/t]-lim[{f(-t)-f(0)}/t]
=lim[f*(t)]-lim[f^(t)]

의 경우에는, 치환한 식 f*과 f^에서 각각 좌-우극한을 따져주어 각각의 극한값이 존재하는지 확인해주어야 합니다.
하지만 f(x)가 0에서 미분불가능하므로 이 문제에서 각각의 극한값은 존재하지 않게 됩니다.
만약 lim이 위 수12하 266p와 같이 쪼개지지 않은 형태이면, f*-f^의 좌우극한을 비교하면 충분하기 때문에 각각의 극한값이 존재하는지 여부는 중요하지 않게 됩니다.

*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.