안녕하세요. 이해원 연구소 코시입니다.

1)에서는 적분하는 함수가 구간별로 달라져 문제가 생기는 경우입니다. -π/6~2π/3의 경우를 예시로 들면

t>π/2에서 cost<0 ⟶ cost/|cost|=-1 (π/2<t<2π/3)
t=π/2에서 cost/|cost|가 불연속이므로 적분구간을 -π/6~π/2 , π/2~2π/3 으로 나누어 적분

-π/6~π/2에서 1의 적분값은 (π/2)+(π/6), π/2~2π/3에서 -1의 적분값은 -{(2π/3)-(π/2)}=-(π/6)
따라서 -π/6~2π/3에서 적분값은 [(π/2)+(π/6)]+[-(π/6)]=(π/2)

위와 같이, 적분 구간을 -π/2~π/2가 아닌 범위에서 잡아주는 경우, 생각해주어야 할 조건이 더 생겨나는 것을 확인하실 수 있습니다.

2)의 예시에서, α, β의 값을

α=2nπ+(π/2)±(2π/6)
β=mπ

(n,m은 정수)로 두고 적분하면 적분값이 다 같은 것을 확인할 수 있습니다.

예) α=2nπ+(π/2)-(2π/6), β=2mπ
삼각함수의 주기성에 의해 이 적분값은
α=(2n-2m)π+(π/2)-(2π/6), β=0 에서의 적분값과 같고,
cost|cost|는 cost랑 비슷하게 생각하면 2π~0까지 적분값이 0이므로 위 적분값은
α=(π/2)-(2π/6)=π/6 β=0
까지의 적분값과 같다.

β=(2m+1)π이나 α=2nπ+(π/2)+(2π/6)와 같이 다른 경우에 대해서도 적분하면 모두 같은 값이 나오는 것을 확인하실 수 있습니다.

한 가지 주의하셔야 할 것은, x=tant=g(t)와 같이 g(t)가 전구간에서 미분가능하지 않는 경우에는 적분 범위를 g'(t)가 구간에 따라 연속이 아닌 점을 포함하여 설정하면, 예를 들어 π/2를 포함하는 구간으로 설정해준다면 그 적분값이 틀리게 나오는 것 또한 확인할 수 있습니다.

정리하면, 구간을 아무렇게 ‘잘’ 잡으면 치환적분에 문제가 생기지 않으나, 구간을 다르게 정의해줄 경우 신경써줘야 할 조건만 더 늘어나므로 가장 간단한, 일대일대응을 만족하는 구간 -π/2~π/2를 설정해주는 것입니다.

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