한완수 하 91pe 해설 공통 f(t)구하는과정

[자유]학습 Q&A

저는 접선의방정식을 구하고 그 함수를 그래프상에그려서 정확하게 f(t)를 그려봤는데 그려보지도않고 이러는게 이해가안가서요 원함수와 변곡접선의 y절편이 어딨을줄알고 (좌표는 아는데 함수를 그릴때 정확히 함수랑 거리가 어떻게되는지를 모르는, 변곡접선 위인지 아래인지 삼차함수 위인지 아래인지)

바로 이렇게 식을 세우는건가요? 함수를 그려보지도않고.. 그려봐야 알텐데

그런데요

근데 접선의방정식 (0,t)를 지나는 접방 함수는 그릴수있는데 주어진 함수자체는 정확히그릴수없지않나요 그럼 그려보지도못하는데 y절편에 따른 함수의 위치도 정확히모르고

삼차함수라면, 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수라면

어디에서의 점에서 그은접선개수가 몇개인지, 내용과 개념과 원리는 아는데 잘 모르겠습니다

2023.03.27 16:48

답글

안녕하세요. 이해원 연구소 코시입니다.

문제에서 그래프 밖에서 그을 수 있는 접선의 개수를 파악하는 문제인 것을 확인한 뒤에, 314p 내용에 따라 “변곡접선과 삼차함수 사이에서는 접선이 3개, 변곡접선 위에서(변곡점 제외)는 접선이 2개, 그 이외에서는 접선이 1개”가 바로 머릿속에 떠오르는게 가장 좋습니다.

314p를 참고하시면, 변곡접선의 주어진 함수는 a의 값에 따라 변화하므로 함수가 어느 점을 지나고 어떻게 생겼는지 정확하게 알 수는 없으나,

(0, t)는 y축 위를 움직이는 점인 것을 파악
> y축 위에서 접선의 개수가 변하는 점을 파악하기 위해서는 변곡접선과 원함수의 y축 절편이 중요
> y축 절편을 구하면 되겠다

의 사고과정을 거치는 것이 좋습니다.

원함수와 변곡접선의 y절편을 구해보면 해설에서와 같이 각각 y=-5, y=(a^3/27)-5이고, a는 자연수이므로 변곡접선의 y절편이 원함수의 y절편보다 위에 있다는 것을 충분히 추론 가능합니다. (혹은 변곡점의 x좌표가 0보다 크다는 정보로 확인 가능합니다.)

이 조건들만 활용하여 문제 풀이를 위해 그래프를 대략적으로 그려보면 아래와 같습니다.(실제 제가 문제를 이해하기 위해 그린 그림입니다.)

2023.03.27 16:49

답글

이제 점 (0, t)의 위치에 따라 f(t)를 해설과 같이 식을 세울 수 있는 것을 확인할 수 있습니다.

이 문제와 같이 미지수에 의해 그래프의 개형이 바뀌어 좌표평면 상에 그래프를 정확하게 나타내기 힘든 경우, 문제를 풀기 위한 최소한의 조건들만 사용하여 그래프를 문제의 이해를 도와줄 수 있는 정도로만 그리는 것이 좋습니다. 예시로 위 그림을 다시 한번 살펴보겠습니다.

문제에서 이차식 f'(x)의 판별식을 확인해보면 a가 3 이하인 경우 극대∙극소값을 갖지 않으므로 개형을 다르게 그려줘야 합니다. 하지만 삼차함수의 접선의 개수를 구할 때 개형이 크게 중요하지 않아 무시할 수 있습니다.

이처럼, 문제 풀이에 필요한 정보만을 골라내는 능력 또한 실력 향상에 도움을 줄 수 있습니다.

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