안녕하세요. 이해원 연구소 코시입니다.

작성하신 대로 0에서 2로 증가하는 함수 g(x)와 1에서 cos(1/2)로 감소하는 함수 h(x)가 모든 경우에서 g(x)h(x)가 증가하는 함수인지 알아보기 위해

g(x)=2루트(x), h(x)=cos(x^2/2)

인 경우를 살펴보겠습니다.

두 함수의 곱셈 f'(x)=g(x)h(x)의 그래프를 그리면 첨부한 사진과 같습니다.
(파란색 그래프는 y=f'(x), 초록색 그래프는 f''(x)입니다.)

이때 g(x)h(x)는 0부터 1 사이에서 극대값을 가지므로, f'(x)가 구간 [0,1]에서 증가한다고 할 수 없습니다. (0.979892...<x<1에서 f'(x)는 감소)

즉, 종이에 작성하신 정보만으로 f(x)의 기울기가 증가하지 않는 경우도 충분히 나올 수 있습니다. 이처럼, 직관적으로 함수를 구하는 것과 직접 미분하여 계산하는 것에 차이가 있을 수 있으니 문제를 푸실 때 식을 직접 미분하여 확인하는 것을 추천드립니다.

*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.