322~323pe 한완수 하 공통

[자유]학습 Q&A

322~323pe 한완수 하 공통

뭔소리하는지를 모르겠습니다 넓이가 곧 함숫값의 변화량? 어 글네글네 이러고 문제풀었는데요 그리고 해설은 어케풀었나 봤는데

음 g'(x)=f(x)? 맞지맞지 음...아...그래? 그렇네.. 그렇구나...하다가 323pe a의범위를구하면 -7/2ㅠ~-3ㅠ에서 급ㅂ잘진하는거보고 멘탈이 나가버렸습니다.. a값이 존재하는 범위? 함숫값의 차이인데 대체 뭔관련이있는거지? 대체 뭔소릴 하는거지? 함숫값의 변화량의 차이라면서 g(x)=F(x)-F(a)면 FX, GX를 각각 또다른 변수로서의 함수로 이중으로 봐야하는건가..?

그냥 여기서 사고가 멈춰버렸는데 함숫값의 차이랑 뭔상관인건가요..도저히 이해가안가네요..

2023.03.13 15:15

답글

안녕하세요. 이해원 연구소 코시입니다.

문제 풀이의 흐름은 정적분 꼴로 a를 이해하는 것보다 g(x)≥0을 만족하는 경우의 a를 생각해주는게 조금 더 쉽다는 아이디어에서 출발합니다.

y=g(x)의 그래프를 직접 구한 뒤 함숫값이 0 이상이 나오게 만드려면 x축의 위치만 생각해주면 되기 때문입니다.

이후 직접 y=g(x)의 개형을 구하는 것이 322p까지의 내용이며, 이후 그래프의 개형을 확인하면 a는 범위에서 나오기 때문에 a의 범위를 구해주는 것입니다.

아래 댓글은 y=g(x)의 개형을 구하는 데 어려움을 느끼셨다 판단하여 작성한 풀이 가이드입니다. 문제 풀이에 도움이 되었으면 좋겠습니다.

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우선 문제에서 주어진 함수 y=f(x)부터 이해해봅시다.
x가 0보다 작은 범위에서 y=|sinx|-sinx는

sinx의 값이 0보다 큰 경우에 y=0
sinx의 값이 0보다 작은 경우에 y=-2sinx

인 것을 볼 수 있고, x가 0보다 큰 경우에도 마찬가지로 구해보시면 322p에 그려진 함수 개형처럼 생긴 것을 알 수 있습니다.

빈 종이에 f(x)의 그래프를 스스로 그려두고, f(x)=g'(x)이므로 f(x)의 그래프를 계속 참고하며 g(x)의 그래프를 그려봅시다. 우선, y=f(x)를 그린 종이에 점 (0, g(0))을 찍고 x축을 대략적으로 그어주세요.

2023.03.13 15:15

답글

이제 x를 0에서부터 점점 키워가며 g(x)를 그려보겠습니다.

우선 0<x<π인 경우, f(x)=g'(x)=0입니다. 즉, 함수 g(x)는 구간 0<x<π에서 변화량이 0이라는 뜻이므로 y=g(x)의 함숫값이 움직이지 않아야 합니다. 그림으로 나타내면 ㅡ자 모양이 생깁니다.

π<x<2π에서 계속 생각해줍시다. f(x)=g'(x)의 함숫값이 음수입니다. g'(x)가 음수라는 뜻은, g(x)는 이 구간에서 x가 커감에 따라 함숫값이 감소하였다는 뜻이므로 점점 내려가는 형태가 되어야 할 것입니다.

2π<x<3π에서는 구간 0<x<π과 마찬가지로 g(x)는 움직이지 않아야 하므로 함숫값이 움직이지 않아야 합니다.

2023.03.13 15:20

답글

여기까지 따라오셨으면, f(x)와 g(x)를 한번 비교하며 보면

f(x) : 0~π까지는 넓이가 0 / π~2π에서는 마이너스 넓이가 있고 / 2π~3π에서 넓이가 0
g(x) : 0~π까지는 함숫값이 움직이지 않고 / π~2π에서는 함숫값이 줄어들고 / 2π~3π에서 함숫값이 움직이지 않습니다.

여기서 넓이가 곧 함숫값의 변화량이라는 말이 조금 더 와닿으셨으면 좋겠습니다.

이제 -π<x<0에서 생각해봅시다. f(x)=g'(x)의 함숫값이 양수이므로 g(x)는 이 구간에서 x가 증가할수록 함숫값도 같이 증가하였다는 뜻입니다. 따라서 (-π, g(-π))에서 (0, g(0))까지 그래프는 올라가는 형태를 가지게 될 것입니다.

따라서 함수 y=g(x)의 그래프 개형을 그려보면 322p에 나온 그림과 같아지는 것을 확인할 수 있습니다.

스스로 g(x)의 그래프를 그려보고 이해하신다면 더 수월한 문제 풀이가 될 것입니다. 만약 이 부분까지 이해가 되었는데 뒷 내용의 풀이가 이해가 안되시는 것이면 새로운 게시글로 추가 질문해주신다면 성심성의껏 답변해드리도록 하겠습니다.

*답변 내용에서 이해가 되지 않는 것이 있다면 새로운 게시글로 추가 질문해 주세요.