1)각주에서, f(t)가 실수 전체의 집합에서 연속이면 그 정적분 함수(~원함수)는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다고 했습니다. 제 생각에는 미분가능하다는 것은 미분계수가 존재한다는 것과 동치, 즉 도함수의 함숫값이 존재한다면 성립한다고 알고 있어서 f(t)의 연속 조건이 필요충분이 아니라 충분조건이라고 생각합니다. 즉 f(t)가 불연속이더라도 실수 전체의 집합에서 함숫값이 정의되어 있으면 그 원함수는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다고 생각하는데, 제 생각이 맞는지 궁금합니다. 감사합니다.
2023.03.07 14:05
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답글
안녕하세요. 이해원 연구소 yz입니다.
고등학교 교과서에서 정적분은 연속함수에 대해서만 정의하고 있습니다. 따라서 함수 ∫f(t)dt(적분구간 [0, x])가 정의된 시점에 이미 함수 f의 연속성이 전제되는 것입니다.
불연속함수 f에 대해 정적분을 잘 정의한다면 f가 불연속인 점에서도 ∫f(t)dt(적분구간 [0, x])가 미분가능할 수 있겠습니다만, 이러한 내용은 고등학교에서 다루지 않는다는 점을 말씀드립니다.
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고등학교 교과서에서 정적분은 연속함수에 대해서만 정의하고 있습니다. 따라서 함수 ∫f(t)dt(적분구간 [0, x])가 정의된 시점에 이미 함수 f의 연속성이 전제되는 것입니다.
불연속함수 f에 대해 정적분을 잘 정의한다면 f가 불연속인 점에서도 ∫f(t)dt(적분구간 [0, x])가 미분가능할 수 있겠습니다만, 이러한 내용은 고등학교에서 다루지 않는다는 점을 말씀드립니다.
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