기출문제를 공부할 때, 많은 사람들이 그 문제 자체를 특정해서 생각하는 경우가 많습니다.

그러면 반복되어서 출제되는 문제들을 대비할 수는 있겠지만,

문제에 생소하게 느껴지는 부분들을 포함하고 있는 경우를 해결할 수는 없습니다.

이에, 생소한 문제를 대비하는 방법에 대해 소개하고자 합니다.

1. 문제 상황의 일반화를 통한 새로운 발견

위의 문항은 2021년 9월에 시행된 모의평가 15번 문제입니다.

시험 상황이 아닌, 집에서 공부를 할 때에는 수열 문제는 일반항을 물어보든 물어보지 않든,

일반항을 구해보고자 하는 시도가 필요합니다.

대부분의 수열 문제는 일반항을 구할 수 있거나, 조건부로 일반항을 찾아낼 수 있습니다.

이 문항 역시 일반항을 구해보려 여러 가지 방식으로 시도하다보면, 그래프로 수열을 접근해볼 수

있다는 생각을 하게 됩니다. 그것이 출제의도인지 아닌지도 중요하지만 이미 나온 문제에서

출제의도에 대해 왈가왈부하는건 일단 잠시 뒤로 미뤄두고, 이 문제를 통해 새롭게 발굴하고

연구해낸 흔적이 중요한 것 같습니다.

위의 문항에서 "답을 맞힐 줄 알기"만으로는 아마 이 문항에서 요구하는 여러 가지 풀이 방향을

발견하기 어려울 수 있습니다.

물론, 해설강의에서 여러 가지 방법을 설명해주긴 할겁니다. 그러나 그 방법을 스스로 발견한 것과

남이 알려준 것은 천양지차입니다. 남이 알려준 방법은 그 방법을 써먹을 수 있을 때에만 유효하지만,

자신이 스스로 발견한 방법은, 스스로 발견해내기까지의 과정까지가 모두 자기 것으로 남기 때문에,

나중에 킬러 문제를 풀 때에도 해결 방법을 스스로 찾아낼 확률이 더 높아집니다.

간만에 틀딱문제 하나를 가져왔는데요, 위의 문제는 2008년에 시행한 9월 모의평가 문제입니다.

이 문제는 명확하게 풀어내기 까다로운 문제인데요,

이 문제를 명확하게 풀어내는 방법을 해설지를 보고 밝혀내는 것이 아니라,

"다항함수 중에서 (가)와 (나)를 만족하는 함수는 일반적으로 어떠한 성질을 갖는가?" 에 대해서

고민해보는 과정에서 비로소 명확하게 풀어내는 방법을 발견할 수 있습니다.

2. 조건의 변형을 통한 새로운 발견

문제의 조건을 변형하는 것 역시 새롭게 출제될 문제를 예측하는 데에 큰 도움이 됩니다.

예를 들어, 단순하게 다음과 같은 문제가 있다고 가정을 해보겠습니다.

이 기출문제를 공부할 때,

"아, 지수로그함수 관련한 문제는 삼각함수로 변형 출제될 수도 있겠다."

"위의 두 그래프는 로그함수를 평행이동한 관계이니, 삼각함수의 평행이동이나 주기성과 관련하여 변형할 수도 있겠다"

와 같은 생각을 해볼 수 있습니다.

작년 수능에서 앞서 푼 문제를 90도 회전한 문제가 출제되었습니다.

tanpix/a의 주기가 a임을 이용한 문제일 것입니다.

혹은 다음과 같은 학습을 해볼 수도 있습니다.

(다)의 조건에서 -14를 변형한다면, 어떤 값들이 가능할까?

2046을 넘는 숫자는 불가능하겠지?

2046 이하의 자연수는 다 가능할까? 적어도 홀수는 안되겠네.

그렇다면 짝수는 다 될까? 다 된다면 왜 그렇지?

이 문제에 대한 이해도가 무궁무진하게 늘어날 수 있습니다.

이러한 이해가 기반이 된다면, (다)의 조건을 보고 적절한 나열만으로도 모든 항을 다 구할 수 있겠다는

확신을 가질 수 있지 않을까요?

3. 다른 풀이를 통한 새로운 발견

다른 풀이를 찾는 것은 많이 알려진 수학 공부 방법 중 하나입니다.

여기서 다른 풀이라는 것의 의미를 되새겨볼 필요가 있습니다.

다른 풀이는 단순히 계산 방식의 차이에서부터 시작합니다.

위의 문제에서 a_1 a_5 = 9, a_2 a_6 = 36이라는 두 조건을 통해 수열 a_n의 일반항을 구한 뒤,

8(a_1 a_2 + a_3 a_4)를 구할 수도 있습니다.

그러나 능동적으로 다른 방법을 생각해보려 노력한다면, 다른 풀이를 발견할 수도 있습니다.

예를 들어, 위의 a_1 a_5 = 9, a_2 a_6 = 36에서, 첫번째 등식에서 두번째 등식으로 r^2이 곱해진 셈이므로

공비가 2임을 캐치합니다. 그리고 구하고자 하는 8(a_1 a_2 + a_3 a_4)에서 8에 주목을 해보면, 8은 공비의 3제곱이므로

이를 a_1 a_2에서 a_2에 전달해주면 a_1 a_5가 되고, a_3 a_4에서 a_4에 전달을 해주면 a_3 a_7로 변합니다.

그러면 결국 a_1 a_5 = 9, a_2 a_6 = 36에서 a_3 a_7 = 144임을 쉽게 알 수 있고,

8(a_1 a_2 + a_3 a_4) = a_1 a_5 + a_3 a_7 = 9 + 144 = 153 임을 구할 수 있습니다.

이렇게 계산 방법만을 달리하는 문제가 있다고 한다면, 아예 접근 방식이 다른 풀이들도 있을 것입니다.

이 문제를 해결할 때, y=f(x)의 그래프와 y=mx의 그래프를 그려서 해결하는 방법이 하나의 방법으로

거론됩니다. 그러나 다른 풀이를 찾기 위해 주어진 g(x)를 변형하다보면,

f(x)-mx가 0 이상일 때와 f(x)-mx가 0 이하일 때로 나뉘어지므로 이를 절댓값과 관련된 식으로 변형할 수

있음을 알 수 있고, lf(x)-mxl 가 들어간 식으로 표현한다면 결국 g(x)는

g(x)= {lf(x)-mxl + f(x)+mx} / 2 와 같이 표현할 수 있음을 확인할 수 있겠습니다.

결국 lf(x)-mxl 의 미분가능성만 따져주면 되는 것입니다.

대략 다음 문제의 아이디어도 어느 정도 떠오를까요?

이 문제의 해결방법도 매우 다양합니다. 양변에 x를 더할 수도 있고, 절댓값을 직접 풀어서 k만 남기고 좌변으로

넘길 수도 있습니다.

모든 다양한 방법을 고민해보고 시도해보는 것이 중요합니다. 풀고, 답 내고, 잘 풀었는지 확인하고, 맞았다! 가 

끝이 아니라 한단계 더 나아가서 다른 풀이는 없는지, 이런 꼴의 문제를 풀 때에는 ~ 으로 시작하는 일반화를

시도해본다던지 하는 여러 시도가 필요합니다.

아래 문항에서도 어쩌면 적용이 가능할지 모르겠네요. 다시 보겠습니다.

앞에서도 살펴봤던 문제인데, 이 문제에서 l a_n l = 2^n 이므로,

시그마 n=1 to 10 ( l a_n l + a_n ) / 2 = 1016 임을 알 수 있고,

( l a_n l + a_n ) / 2 은 a_n 이 0보다 크면 a_n, 0보다 작으면 0인 수열이며,

이들의 합이 1016임을 이용하면 a_10은 양수가 아님을 확인할 수 있고,

이와 같은 과정을 반복해서 a_1까지 보다 쉽게 찾아나갈 수 있습니다.

이러한 꼴의 익숙함은 다양한 기출문제의 다른 풀이를 찾아보는 데에서 경험적으로 데이터가 쌓여가기도 하며,

스스로의 연구만으로 부족하기 때문에 주변 친구들과의 논의, 커뮤니티에서의 여러 글들을 모두 종합해서

분석하고 살펴보는 것이 필요합니다. 근본적으로는 수능 수학에 대한  관심과 사랑이 필요한 것입니다.

지금까지 새로운 문제를 대비하는 3가지 방법에 대해 살펴보았습니다.

여기에 제시하는 방법들은 막상 실행에 옮기려고 하면 만만치가 않다는 것을 느낄 것입니다.

이 글은 새로운 문제를 대비하는 유일한 방법일 것입니다만, 한계가 명확한 방법입니다.

결국 이 방법을 학습에 적용하려면 공부 자체를 상당히 능동적으로 할 줄 알아야 하는데, 

그럴려면 수능수학을 좋아하고 관심이 많아야 합니다.

그런데 수능수학을 좋아하고 관심이 많다면 이미 고득점인 경우가 많아서, 여러모로 이 방법은

잘하는 사람의 모습을 보여준다 이상을 기대하기 어렵다는 한계는 있습니다.

분명 이 글을 읽는 수능수학을 잘하는 사람들은 이 방법들을 자기도 모르게 사용하고 있을 것입니다.

이 글의 의의는 그냥 자기도 모르게 사용하는 것을 글로 드러내는 것에 있다고 봅니다.

모든 사회과학 학문들이 다 그런 식인데, 학습법도 사회과학이라 대부분 이러한 측면을 드러내는

의의와 한계가 명확합니다.

그런 점을 참고하여 이 글을 읽어주신다면 감사할것 같습니다.

읽어주셔서 감사합니다.