안녕하세요?

오늘은 2018학년도 수학 가형 30번을 찬찬히 풀어보며 생각하고 공부해볼 지점들을 살펴보고자 합니다.

2018학년도 수능은 고난도 문제 위주로 난이도가 높았던 시험이었는데요, 특히 30번은 역대 기출문제 중 최고난도로 꼽힙니다.

여러분이 이 글을 끝까지 읽는다면.... 사실 이 문제는 이제 버려지는겁니다(?).

스스로의 힘으로 해결한게 아니라 해설을 본 셈이니까요.

그러나 이 문제를 함께 살펴보며 이정도의 끈기와 인내를 가지고 답안을 완성해야 맞힐 수 있다는 것을 깨닫고,

이를 다른 어려운 문제에 도전하고 그것을 해내는 경험을 반복하다 보면 분명히 요즈음의 다소 난이도가 낮은 킬러는 정복이 가능할 것입니다.

시작해볼까요?

1. 문제를 이해하는 방법: 예시(문자를 적당한 숫자로 바꾸기)를 통해 이해한다.

(1) t의 이해

이 문제는 읽자마자 처음부터 스트레스를 받습니다. f(x)라는 함수가 상당히 거부감이 들기 때문입니다. 

식에도 문자가 x 뿐만 아니라 t까지 있고, 범위마저도 x와 t가 동시에 있어서 골치가 아픕니다.

물론 수능시험을 볼때에는 이정도 식은 곧바로 파악할 정도는 훈련되어있어야겠지만, 아직 그렇지 않다면 문자를 적당한 숫자로 바꿔야 합니다.

정의된 f(x)에서는 t가 상수 취급을 받습니다. 따라서 t=0을 대입하고 f(x)의 그래프를 그려볼까요?

대략 이런 그래프가 나올 것입니다. t=1, t=2일 때에도 그래프를 상상해볼 수 있겠지요?

결국, t의 값에 따라 위의 그래프가 x축의 방향으로 t만큼 평행이동될 뿐입니다.

(2) k의 이해

이번엔 함수 g(t)에 대한 이해를 해봅시다. 역시, 문자를 적당한 숫자로 바꾸면 이해가 될 것입니다.

수열 문제 등 문제의 다양한 상황에서 문제가 복잡한 문자들의 향연으로 이루어져 있다면 반드시 적당한 사례(대입, 상황 간단화 등)를 거쳐서 

간단하게 바꿀 수 있습니다.

"어떤 홀수 k에 대하여" 라는 조건이 있으므로, 우리는 적당히 k=1이라 두고 생각해볼 수 있겠습니다

2. 문제 상황의 모든 CASE를 나누기

CASE를 나누는 것은 고난도 수학 문제에서 자주 등장합니다.

문제의 상황이 하나로 모아지지 않을 때에는 모든 경우를 나눠서 생각해주어야 합니다.

그리고 그것이 조금 복잡해 보일지라도 많은 경우 그렇게 나누는 것이 최선일 때가 많습니다. 

시도하지 않고 포기하면 정답을 맞힐 확률은 거의 0이지만, 시도를 하면 정답을 맞힐 수도 있습니다. 그리고 이런 정도의 문제는 시험에 1개 이하로

나오기 때문에 다른 문항이 어느정도 전부 다 맞힐 것 같다는 생각이 들때 도전하는 것이 좋습니다.

f(x)는 확실히 이해했으니, 이제 g(t)를 이해해봅시다.

t의 값을 움직이며 f(x)와 cos((πx)의 그래프를 그려보고, g(t)의 식을 세워보려 하면 여러 케이스가 나온다는 것을 확인할 수 있습니다.

아마 적어도 5가지의 경우로 나누어야 할텐데요, 한번 해봅시다.

(1) 0<t<1일 때

그려진 f(x)와 cos(πx)의 곱에 대해서 g(t)가 정해짐을 알 수 있습니다.

다행스럽게도(?) f(x)=0인 부분은 적분값도 당연히 0이 되므로, 우리는 0이 아닌 부분만을 떠올려야 합니다.

즉, 위의 그래프에서의 상황은 다음과 같은 식으로 표현할 수 있겠습니다.

대충 이해가 되지요?

그렇다면, t의 값에 상관없이 g(t)가 모든 경우에 위의 식처럼 표현될까요? 아닙니다. t가 1보다 커지면 또 달라질 것입니다.

(2) 1<t<2일 때

이번에는 g(t)가 어떻게 바뀔까요? 

이렇게 된다는걸 알 수 있습니다. 

(3) 1<t<8일 때

자 이제 이 짓을 한번만 더해봅시다. 만약 t가 2보다 커지면 어떻게 될까요?

나머지 두 케이스는, 다음과 같이 간단히 설명할 수 있겠습니다.

(4) 8<t<9일 때: (2)의 상황을 x=5에 대하여 대칭했을 뿐입니다. 그러면 적분값은 동일하게 나온다는 걸 알 수 있습니다.

(5) 9<t<10일 때: (1)의 상황을 x=5에 대하여 대칭헀을 뿐입니다. 그러면 적분값은 동일하게 나온다는 걸 알 수 있습니다.

결국 총 경우는 3가지를 고려하면 됩니다!

3. 극소를 갖는 t를 찾기

이제 박스의 조건을 해석할 차례입니다.

다행히 이 조건은 이해하는데에는 크게 어려움이 없을 것입니다. 그냥 g(t)가 음수인 극솟값을 갖도록 하는 모든 t를 다 더하면 45이다 정도로

이해해볼 수 있겠습니다.

다만 우리는 k=1인 상황을 가정하여 생각했기 때문에 합이 45가 안나올 수도 있습니다.

그러나 결국 k=1이 아니라 3이나 5나 7이 된다 하더라도, 결국 극솟값이 음수가 되는 모든 t도 같이 따라서 2칸씩 오른쪽으로 움직일 뿐이기에,

k=1일 때를 가정해서 문제를 일단 풀고, 값 조정은 맨마지막에 하면 되겠습니다.

그러면 각 케이스마다 언제 극소를 갖는지를 판정해야 하고, 적분값을 구해야 합니다. 구하라고 하는 것에서 적분값을 구하라는 명령이 있었기 때문이지요.

 (1) 0<t<1일 때

g(t)를 t에 대해 미분을 해야 우리는 부호 변화를 관찰할 수 있습니다.

한번 미분을 해볼까요? 엇, 미분을 하려고 했더니 이런 구조의 식은 매우 친숙합니다.

대략 이러한 꼴의 적분형태를 미분하는 문항을 많이 풀어봤을 것입니다.

이와 유사한 식구조를 띄고 있기에 이 계산은 빠르고 친숙하게 이루어져야 하겠습니다.

결국, 항상 감소함을 쉽게 알 수 있습니다. 

(2) 1<t<2일 때

열심히 계산해볼까요?

항상 양수가 됨을 알 수 있을 것입니다.

결국 g(t)는 1<t<2에서 증가합니다.

(3) 2<t<8일 떄

마찬가지로, 매우 계산을 해 봅시다. (2)까지의 계산이 반복되는 식들이 있을겁니다. 반복되는 부분들은 빠르게 처리합시다.

이제, (1), (2), (3)을 종합하며 극솟값을 갖는 t를 찾아봅시다.

(1)과 (2)에서, t=1일 때 g'(t)의 부호가 음에서 양으로 변하므로, 극솟값을 가짐을 쉽게 확인할 수 있습니다.

(2)와 (3)에서, t=2에서는 극댓값을 가짐을 알 수 있습니다.

(3)에서 t=3, 5, 7일 때 g'(t)의 부호가 음에서 양으로 변하므로, 극솟값을 가짐을 쉽게 확인할 수 있습니다.

1번에서 살펴보았듯이, 문제의 상황은 x=5에 대하여 대칭이므로 t=9일 때에도 t=1일 때와 같은 극솟값을 가짐을 알 수 있습니다.

결론적으로, 극솟값은 t=1, 3, 5, 7, 9일 때 갖습니다.

그렇다면 이 5개의 극솟값 중에서 음수인 것을 찾아야 합니다!

4. 극솟값이 음수가 되는 t를 찾기

사실, t의 후보가 5개나 되지만, 대칭이기 때문에 t=1, 3, 5일 때에만 계산을 해보면 알 수가 있을 것입니다.

특히, t=3, 5는 같은 적분값을 가질 것이 분명하니까, 계산을 총 2번만 하면 됩니다!

(1) t=1일 때

극솟값이 음수임을 확인할 수 있지요?

(2) t=3일 때

(1)에서 구한 값의 2배임을 그림을 통해 확인할 수 있습니다. 왜냐하면, 결국 g(3)을 구할 때, 2<t<3일 때와 3<t<4일 때로 나누어야 하는데, 두 경우 모두 (1)의 경우와

그래프가 동일하거나, 대칭 구조이기 때문입니다. (적분 구간을 치환적분을 통해 (1)처럼 변형해봐도, 동일함을 알 수 있습니다.) 

결국 (1)의 값에 두배한 것으로 쉽게 확인할 수 있겠습니다.

결론적으로, 극솟값이 모두 음수이고,

임을 알 수 있습니다.

이를 문제 상황에 도입해보면, m=5임을 알 수 있으며, 

임을 알 수 있습니다. 

따라서, 이 시그마 값을 45로 만들기 위해서는 극소가 되는 5개의 t가 합쳐 20이 커져야 하므로,  극소가 되는 1개의 t는 4씩 커져야 합니다.

따라서, k=1이 아니라 k=5가 됨을 확인할 수 있습니다.

지금까지 2018학년도 수학 가형 30번을 풀어보았습니다.

결국 이 문제는 "문제의 이해를 위한 예시를 드는 것 + 상황이 나뉘기 때문에 케이스를 분류하는 것 + 계산하는 것" 총 3가지의 구조로 되어 있음을 확인할 수 있었습니다.

킬러문제는 반드시, 다음 3가지 구조 중 하나로 요약됩니다.

"문제의 이해를 위한 예시를 드는 것 + 상황이 나뉘기 때문에 케이스를 분류하는 것 + 계산하는 것"

"문제의 이해를 위한 예시를 드는 것 + 계산하는 것"

"상황이 나뉘기 때문에 케이스를 분류하는 것 + 계산하는 것"

각 킬러문제를 3가지 중 하나로 분류하고, A4 용지에 차근차근 그 과정을 적는 연습을 하면서 기출문제의 킬러를 하나씩 정복하세요.

그러면 점점 문제를 구조적으로 보는 눈이 키워지고 킬러 문제를 빨리 풀지는 못하더라도 풀 수 있는 상태가 될 것입니다.

시험 상황에 따라 시간 여유가 충분하지 않으면 비킬러를 검토하고 시간이 남으면 22번에 도전하는 방식으로

시험 전략을 짠다면,  충분히 킬러도 정복할 수 있을 것입니다.