제누스가 활발해질때까지 간간히 칼럼을 올리려 합니다.

1. 이미 배운 도형의 변형

우리는 중고등학교 때 여러 가지 도형의 변형을 배웠습니다.

가장 핵심적으로 배우는 변형은 고등학교 1학년때 학습했던 도형의 이동입니다.

이와 같은 도형의 이동은 지수함수와 삼각함수에서 주로 적용합니다. 물론 문제풀이에서는 전단원에서 적용될 수 있는 개념이기도 합니다.

이정도의 기본 개념을 숙지하였다고 가정하고, 두 가지 기출문제를 통해 적용해보도록 하겠습니다.

2. 기출문제의 적용

(1) 2014학년도 6월 평가원 17번

문제를 풀어본 적이 없다면, 먼저 풀어보시고 읽으신다면 더 좋을 것 같습니다.

이 문제를 푸는 방법은 여러 가지가 있겠습니다만, 도형의 이동의 관점에서 문제를 해결하는 과정을 살펴보고자 합니다.

문제를 잘 살펴보면, 점 A의 x좌표와 점 B의 x좌표 중 어느 것이 더 큰지부터 판단을 해야함을 알 수 있습니다.

교점보다 위에 있으면 점 A의 x좌표가 더 클텐데, 교점의 x좌표가 log_4 15이므로 2보다 조금 작습니다.

따라서 점 A의 x좌표가 2보다 크다고 조건에 나와 있으므로, 항상 교점보다 위쪽에 존재하기에  점 A의 x좌표가 점 B의 x좌표보다 큽니다.

따라서 위의 그림의 상황만 생각해보면 되겠습니다.

본격적으로 풀이를 진행해보면,

먼저, 식을 다음과 같이 해석하는 것이 좋겠습니다. 많은 도형의 변형을 요구하는 문제들이 그 변형 과정을 알아보기 어렵게 표시하는 경우가 많습니다.

y=2^x라는 지수함수가, y축 대칭 후 x축의 방향으로 log_2 15만큼 평행이동한 것이 y=15*2^-x 라고 해석하는 것입니다.

따라서, 1<AB<100이라는 조건은 아래와 같이 바뀔 수 있겠습니다. 

결국 선분 AP의 길이는 점 A의 x좌표와 동일하므로, 자연수 a의 개수는 3부터 51까지 총 49개임을 알 수 있습니다.

이 문제는 결국 오직 식만으로도 해결할 수 있겠지만, 이렇게 도형의 변형을 활용하여 해석하면 조금 더 간편하게 해결할 수 있다는 결론을 내릴 수 있겠습니다.

(2) 2022학년도 9월 평가원 21번

문제를 풀어본 적이 없다면, 먼저 풀어보시고 읽으신다면 더 좋을 것 같습니다.

이 문제에에서도 마찬가지 방법으로 생각을 해봅시다.

위에 주어진 두 곡선은 사실, y=a^x를 x축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이고, y=log_a x를 x축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것으로

볼 수 있습니다. 따라서, 사실 문제의 상황은 다음과 같이 변형할 수 있고, 금방 풀 수 있게 됩니다.

막상 시험장에서는 이 내용을 단순히 머릿속에 알고있는 것만으로 쉽게 풀이를 꺼내기가 어렵습니다.

그래서, 이 내용을 한 지식으로 머릿속에 넣는다고 이해하기보다는, "의식적으로, 지수함수 및 로그함수 문제는 도형의 변형을 풀이의 한 방법으로 고려하자"고 마음먹는게

중요합니다.

3. 교과서의 행간에 숨겨 있는 도형의 변형

이번에는 교과서에서 명시적으로 드러내지는 않지만, 단원 내용 안에서 다루는 도형의 변형에 대해 알아보고자 합니다.

y=f(x) 꼴에서 y의 값이 a배가 되는 변형인 y=af(x)와, x의 값이 1/a배가 되는 변형인 y=f(ax)입니다.

이 내용은 삼각함수에서 중요하게 다뤄집니다.

'

y=cosx에서 y=2cosx가 되는 변형은 y값이 두배, 다시말해 x축에 이르는 거리를 2배를 늘린 것이고 (위아래로 두배 쭉 늘린 것),

y=cosx에서 y=cos2x가 되는 변형은 x값이 절반, 다시말해 "y축에 이르는 거리를 절반으로 줄인 것"을 의미합니다.

이 내용을 바탕으로, 다음 기출문제를 살펴보고자 합니다.

이 문제를 해결하는 방법은 다양합니다만,

첫번째 직선은 y=log_2 x위의 두 점, 두번째 직선은 y=log_4 x 위의 두 점임을 알 수 있습니다.

여기에서 다음과 같은 변형을 통해, y=log_4 x 위의 점의 x축에 이르는 거리를 두배로 늘렸다는 것을 알 수 있습니다.

따라서, y=log_4 x 위의 두 점에서 y의 값을 두배하면, y=log_2 x 위의 두 점이 되므로,

두 점을 이은 직선 역시 x축을 기준으로 이르는 거리가 두배인 관계가 있는 두 직선임을 알 수 있습니다.

그런데 두 직선의 y절편이 같다고 합니다. 원래라면 y의 값이 두배가 차이가 나야 하는데 말이지요.

즉, 같다는 것은 곧 x축과의 거리가 둘다 0임을 의미하고, 그와 동시에 두 직선의 교점임을 의미합니다.

따라서 교점의 x좌표는 (0, 0)이라는 사실을 알 수 있습니다.

이후 풀이과정은 다음과 같이 전개될 것입니다.

x값을 늘리거나 좁히는, 또는 y값을 늘리거나 좁히는 문제는 이 문제 이외에도 많이 기출문제에도 적용할 수 있어서

잘 활용하면 도움이 될 것입니다.

----------------------------------------------------------------------------------------------------

지금까지 좌표평면에서의 도형의 변형에 대해 알아보았습니다.

이와 같은 관점을 가지고 기출문제를 비롯, 다양한 문제에 적용하는 연습을 하시면 도움이 될 것입니다.

당연히, 모든 문제에 적용되는 것이 아니기에 그것을 잘 판단하려는 노력이 필요하며,

또한 적용이 된다 하더라도 시험을 볼 때 제한시간 내로 해석이 어려울 수 있습니다.

모든 도형의 변형과 연관된 문제는 "반드시 수식으로 해결이 가능"합니다.

그건 모든 그래프의 표현이 사실 수식적 설명을 다르게 표현한 것에 불과하기 때문입니다!

이 본질까지 가져간다면 더욱 이번 글이 의미가 있지 않을까 싶습니다.

(광고)

아래는 저의 N제이니 관심있으신 분들은 한번쯤 풀어보길 바랍니다!

[클릭]

읽어주셔서 감사합니다!